Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

536 Übungsaufgaben zum zehnten Kapitel.
Andeutung: Vgl. p. 458, Fußnote 1), und Aufgabe Nr. 41 auf p. 151.
(SCHEEFFER)
20. Die Aufgabe Nr. 17 dahin abzuändern, daß nicht nur die Länge der
Kurve, sondern auch der Inhalt der zwischen der Kurve, den Ordinaten von P,
und P2 und der x-Achse eingeschlossenen Fläche vorgeschrieben ist.
Lösung: Die Extremalen sind elastische Kurven und gehen aus den
Gleichungen (138), resp. (139), hervor, indem man y durch y +-J und c durch
a + - 2 ersetzt. (EULER)
21*. Die Gleichgewichtslage eines elastischen, an seinen beiden Enden festgeklemmten Drahtes zu bestimmen.'1)
Andeutungen: Man hat die potentielle Energie des Drahtes, d. h. wenn r
den Krümmungsradius bedeutet, - abgesehen von einem konstanten Faktor -
das Integral
ds
o
bei gegebener Länge 1 zu einem Minimum zu machen, während die Endpunkte
und die Tangentenrichtungen in denselben gegeben sind. Die zulässigen Kurven
sind von der Klasse C" vorauszusetzen.
Die Aufgabe gehört zum Typus von Nr. 18, läßt sich aber auf ein Funktionenproblem vom einfachsten Typus mit zwei isoperimetrischen Bedingungen
zurückführen, wenn man die Bogenlänge s als unabhängige und den Tangentenwinkel 0 als abhängige Variable einführt. Man hat dann das Integral
J-JO'2ds
mit den Nebenbedingungen
i 1
Jcos0ds==x -x-, fin 0d s =y y
o o
und den Anfangsbedingungen: 0(o) 01, 0 (1)= 02 zu einem Minimum zu machen.
Lösung: Die Extremalen in der x, y-Ebene sind elastische Kurven. Ein
Bogen der elastischen Kurve, welcher keinen Wendepunkt enthält, liefert stets,
ein starkes Minimum (vgl. Aufgabe Nr. 23, p. 147). (EULER, BORN)
22. Nach der Methode von Nr. 21 läßt sich die allgemeinere Aufgabe behandeln, das Integral
J(r) ds
0
bei gegebener Länge l zu einem Extremum zu machen, z. B. die Aufgabe Nr. 44
von p. 152 mit der Modifikation, daß die Länge der Kurve vorgeschrieben ist.
1) Vgl. dieDlissertation von M. BORN, Göttingen 1906, wo zahlreiche interessante Modifikationen der Aufgabe theoretisch und experimentell untersucht
werden, besonders auch in Beziehung auf die Stabilität.