Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

534 Übungsaufgaben zum zehnten Kapitel.
Konstantenbestimmung: Je nachdem
31 (x - x,)(yl + Y1 y + Y2)
gibt es eine1) Lösung vom ersten Typus, für welche: 0< t(x2 - x)<7r, oder
eine Lösung vom zweiten Typus, oder eine vom dritten.
Hiernach die Weierstraß'sche Konstruktion und die Frage des absoluten
Extremums zu diskutieren. (LUNN, MILES)
16*. Unter allen Kurven, welche zwei gegebene Punkte P, -P2 der oberen
Halbebene (y> 0) verbinden, ganz in dieser Halbebene verlaufen und durch
Umdrehung um die x-Achse eine Fläche von gegebenem Inhalt erzeugen, diejenige
zu bestimmen, für welche diese Fläche zusammen mit den beiden durch Rotation
der Ordinaten von P1 und P1 erzeugten Kreisen das größte Volumen einschließt
(Unduloid, Nlodoid) 2). (EULEn)
Andeutungen: Erstes Integral
y2+ Zy " — + \ pFührt man statt l und P zwei neue Konstanten e und y ein durch die Gleichungen
Qe -4/ - 2, -Qcosy = 4 ++,
und setzt: ==siny, ' =cosy, so lautet das allgemeine Integral in der
eg en d r e'schen Bezeichnung:
x= a + Qe [F(x, t) + E(x, t)],
y = A (x, t).
Die Extremalen werden beschrieben durch den einen Brennpunkt eines auf
der x-Achse rollenden Kegelschnitts (DELAUNAY). Diskussion der Gestalt der
Extremalen. Spezielle, resp. Grenzfälle: Halbkreis über der x-Achse, Kettenlinie
und Gerade3) parallel der x-Achse
Diskussion der konjugierten Punkte (HOWE, HORMANN).
Ecken von etwaigen diskontinuierlichen Lösungen müssen auf der x-Achse
liegen, und diskontinuierliche Lösungen müssen sich aus Stücken der x-Achse
(~ 52) und aus Kreisbogen mit dem gleichen Radius, deren Mittelpunkte auf der
x-Achse liegen, zusammensetzen (TODRUNTER).
Die reziproke Aufgabe ist identisch mit der Bestimmung der Gleichgewichtslage von Seifenblasen, welche die Ränder zweier koaxialer Kreisscheiben verbinden (PLATEAU).
1) Eine Ausnahme tritt ein für y2 = - y.
2) Vgl. W. HowE, Berliner Dissertation 1887 und G. HORMANN, Göttinger
Dissertation 1887.
3) Vgl. dazu ALMANSI, Annali di Matematica (3), Bd. XII (1905), p. 1.