Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

524 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
gehender Halbstrahl sich von der positiven x-Achse aus in positivem Sinn um
den zwischen 0 und 2r gelegenen Winkel c dreht.
Wir haben wieder das Integral
t2
J — f(xy' - yx')dt
mit der Nebenbedingung.8x2+yj'2dt- I
tl
zu einem Maximum zu machen.
Daher folgt aus den Resultaten von ~ 59, c) und ~ 61, c) zunächst, daß die
gesuchte Kurve ein in positivem Sinn beschriebener Kreisbogen von der Länge 1
sein muß, welcher, von einem Punkt P, der positiven x-Achse ausgehend, durch,den Winkelraum a nach dem Punkt P2 führt.1)
Da ferner im Punkt P,: 0, y=- 0, so reduziert sich die Transversalitätsbedingung darauf, daß der Kreisbogen im Punkt P1 auf der x-Achse
senkrecht stehen muß.
Wir nehmen an, wir hätten einen diesen Bedingungen genügenden Kreisbogen Wo gefunden
o0: x =- %z - 0 cost, y =- 0 sint.
Die Doppelschar von Extremalen (129) besteht hier aus den Kreisen
x == -, cost, y =- - X sint, (134)
welche sämtlich für t = 0 die x-Achse senkrecht schneiden. Die beiden Glei-chungen (134) zusammen mit der Gleichung
z = - t (135)
definieren die Kongruenz (133). Daraus erhält man
(t, x, 1) = (sint - t cost).
Auf allen Kreisen der Doppelschar (134) wird also der Brennpunkt der x-Achse
durch denselben Wert 257~27'12"
t — 7, 360~00'00"
geliefert.
Zur Bestimmung des in (134) enthaltenen ausgezeichneten Extremalenbüischels
erhält man nach (88) die Differentialgleichung
cosy7 dz - dX == 0.
Daraus folgt, daß das ausgezeichnete Büschel aus denjenigen Kreisen besteht, welche
ihre Mittelpunkte auf der x-Achse haben und die im Brennpunkt Po' an den Kreis
Zg gezogene Tangente berühren. Die letztere ist also die Enveloppe ~ des
Büschels, ein Halbstrahl, welcher mit der positiven x-Achse den Winkel y-
bildet.
1) Abgesehen von etwaigen unfreien Lösungen (~ 52), welche streckenweise
mit den Schenkeln des Winkels zusammenlaufen.