Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 64. Hinreichende Bedingungen. 511
Z, ist negativ und cos (0O - 0,) kann nicht entlang der ganzen Kurve V gleich 1
sein, wenn, wie wir annehmen, ( von eo verschieden ist. Dies folgt, wie unter
b) allgemein gezeigt wird, daraus, daß nach (81) entlang der ganzen Kurve i
A (r,, x,, 18,) = 8 sin T (sin vg - r cos T3) += 0
da
0<r <7r,, <0.
Aus dem Weierstraß'schen Satz folgt daher, daß
A<J<O.
Wir erhalten also das Resultat: Der Kreisbogen eo liefert für den Flächeninhalt J einen größeren Wert als jede andere gewöhnliche Kurve derselben Länge,
welche von P1 nach P2 gezogen werden kann.
Durch eine Modifikation der vorangehenden Schlußweise beweist man auch
den Satz: Unter allen geschlossenen gewöhnlichen Kurven von gegebener Länge
umschließt der Kreis den größten Flächeninhalt.')
Beispiel XXI (Siehe pp. 466, 484):
Ist irgend eine zulässige Kurve i gegeben, /
so wählen wir den Punkt PO auf der Fortsetzung
des Kettenlinienbogens Eo über P, hinaus so, daß
für jeden Punkt P, der Kurve: \ 2
X. > X0.
Dann gilt auch hier die Ungleichung (115).
Es läßt sich also nach den Resultaten der Konstantenbestimmung von ~ 59, d) von P, nach wo
jedem Punkt P. der Kurve (E eine und nur eine Fig. 113.
nach unten konvexe Kettenlinie (S ziehen, deren Direktrix mit der x-Achse parallel
ist, und für welche
KO 3 = Ko + K1 S
d. h. die Weierstraß'sche Konstruktion ist auch hier stets möglich für die
Kurve e.
Für die Kongruenz von räumlichen Extremalen durch den Punkt Po findet
man aus (26)
x- X = (t -),
y -y= o (Ch t- Ch x),
z =a (Sh t- Sh x).
1) WEIERSTRASS, Vorlesungen 1879; vgl. auch KNESER, Lehrbuch, ~ 37. STEINER
gibt in der Abhandlung ÜUber Maxima und Minima bei den Figuren etc."
(Werke, Bd. II, p. 193) einen rein geometrischen Beweis dieses Satzes (jedoch
unter der Voraussetzung der Existenz einer Lösung), sowie zahlreiche interessante
Modifikationen des speziellen isoperimetrischen Problems. Neuere Beweise ohne Benutzung der Variationsrechnung sind gegeben worden von HURWITz, Comptes Rendue,
Bd. CXXXII (1901), p. 401; BERNSTEIN, Mathematische Annalen, Bd. LX (1905),
p. 117 und WITTiNG, Archiv der Mathematik (3), Bd. XII (1907), p. 288.
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