Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

506 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
b) Die Wei er straß'sche Konstruktion fiir isoperimetrische Probleme:
Aus den Hamilton'schen Formeln ergibt sich nun der Weierstraß'sche Fundamentalsatz entweder mittels der Weierstraß'schen
Konstruktion oder mittels des Hilb ert'schen Unabhängigkeitssatzes,
beide in geeigneter Weise modifiziert. Wir betrachten zuerst die
erste der beiden Methoden.
Es seil) os der unserem Extremalenbogen Lo in der Kongruenz
(99) zugeordnete räumliche Extremalenbogen:
0o' x =( p(t, xo, o y = (t, o, lo), z = (t, x0, o), t t t2.
Derselbe führt vom Punkt Q,: x == x, y = y, z == z,(= Ko,) nach
dem Punkt Q,: x = x-2y == y z === z(= Ko2).
Wir nehmen an, dieser Bogen eo sei ganz im Innern des
Feldes oV' gelegen, und ziehen nunmehr in der x, y-Ebene irgendeine
zulässige Kurve ( von P, nach PJ
x=x(r), y =<Yr), iV < t2;
(1o0 ^^^_.-2 als zulässige Kurve genügt dieselbe der
isoperimetrischen Bedingung (1)
I ^ 1 K12- l. (107)
Den Wert des Integrals K, genommen
von Po entlang eo bis P, und von da
Fig. 111 entlang ( bis zu einem variabeln Punkt
P3(r) von U, bezeichnen wir mit (zr), so daß also
(v K o + K K G(, y, ', y dr. (108)
Dann ordnen wir der Kurve ~ die Raumkurve,:. x -x (r), y = y((r), s =- L()
zu. Da
j(~) -= 1:o == z51, (V2) = 0o, +:12 = K01 + 1K -,z2
so führt die Kurve V', ebenso wie o., vom Punkt Q1 nach dem
Punkt Q2.
Wir führen jetzt die beschränkende Annahme ein, daß auch die
der Kurve (1 zugeordnete Raumkurve U-' ganz im räumlichen Feld oJ'
gelegen ist. Für die Kurve S selbst bedeutet dies: Durch jeden Punkt
~) Mit Bezeichnungswechsel(!) gegen ~ 62, b).