Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

504 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Überdies soll vorausgesetzt werden, daß die Funktionen
t92 qtg ttt; lp2 ltt ^ltt
als Funktionen ihrer drei Argumente im Bereich Cy von der Klasse
C' sind; ferner daß die Projektion oV des Bereiches Sf' auf die x,yEbene ganz im Bereich 9R enthalten ist, und endlich, daß
f(Te(t^,.,2)>0 in (100)
nnd
und A(,A(tx,A) 0 in. (101)
Alle diese Annahmen fassen wir in die Aussage zusammen, daß der
Bereich o0' ein Feld von räumlichen Extremalen bildet.
Die zugehörigen inversen Funktionen des Feldes, welche die Auflösung der Gleichungen (99) nach t, x, darstellen, bezeichnen wir mit.
= t(x, y, ), Z = t(x, y, z), s 1= (x, y, ),
so daß also, identisch in x,y,z:
S (t,, ) x, 4p(t, f ) y, X(t, f)- (102)
und gleichzeitig, identisch in t,x, l:
t(T, i, X) t, (p, (y, X) -, I (S,, ) 2 -. (103)
Es sei jetzt Q3(x3,y3,z3) irgend ein Punkt von oS', P3(x3y,) seine
Projektion auf die x, y-Ebene. Alsdann geht von Po nach Q3 eine
und nur eine räumliche Feldextremale (; nach der Bedeutung der
Ordinate z3 ist dann die Projektion (v3 von (3 zugleich die einzige
Extremale der Doppelschar (98), welche durch den Punkt P3 geht,
und für welche das Integral K den Wert z3 besitzt:
K03 = -Z3
und die zu (3 gehörige isoperimetrische Konstante hat den Wert
%= t- (X3, y3, 3).
Das Integral J, genommen entlang 3 von Po bis P3, betrachtet
als Funktion von x3, y3, z3 nennen wir das zum Feld o' gehörige
Feldintegral und bezeichnen seinen Wert mit W(x3, y3, 3), so daß
also nach der Bedeutung der Funktion U
W(x, y, ) = U(t, t, t),
wenn wir der Einfachheit halber den Index 3 durchweg unterdrücken.
Wir berechnen jetzt die partiellen Ableitungen von W; zunächst ist
Wx-( U()t, + (U) + (U2.)x,
Wy=( Uty + ( U,) f, + ( ) y, (104)
Wz (^XUt)tz + Ux) z + ( UD) Jf 2