Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 62. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte. 499
Das zum konjugierten Punkt im engeren Sinn gehörige ausgezeichnete Extre-.malenbischel ist also das Büschel von Kreisen mit dem konstanten Radius lo 1.durch den Punkt P1.
Die Enveloppe desselben besteht aus dem Kreis mit dem Radius 21 ol um
den Punkt Pl, zusammen mit dem als degenerierte Kurve zu betrachtenden
Punkt Pl. Aber nur der letztere Bestandteil der Enveloppe kom]nt nach der
Definition der Kurve l für uns in Betracht. Dies geht auch deutlich aus der
Betrachtung des zugehörigen Büschels von räumlichen Extremalen (Schraubenlinien) hervor; die Enveloppe i' desselben degeneriert in den Punkt Qi:
x==x1, Y-, z - 2 o, Z,
durch welchen sämtliche Kurven des Büschels für v == hindurchgehen. Das
zeigt wieder, daß die Enveloppe ~ in den Punkt P1 (r = -) degeneriert.
Interessanter gestaltet sich die Untersuchung für den zweiten konjugierten
Punkt)ct ),
f (%, A)=y
(vgl. p. 495). Hier lautet die Differentialgleichung (88)
cosydx - siny d = 0,
deren Integration bei passender Konstantenbestimmung ergibt
1.= in ecotg (Xz- o)
Setzt man diesen Wert von l in (80) und (82) ein, so erhält man das ausgezeichnete Büschel von räumlichen Extremalen und dessen Enveloppe.'. Daraus
ergeben sich dann durch Projektion auf die x, y-Ebene, d. h. durch Unterdrückung
der Gleichung für z, das ausgezeichnete ebene Extremalenbüschel, sowie dessen
Enveloppe 5. Für letztere erhält man in Polarkoordinaten mit dem Punkt Pl
als Pol das Resultat
r -2 2- o siny e ctg y (( - y -o)
also eine logarithmische Spirale, welche die radii vectores vom Punkt P, aus
unter dem konstanten Winkel y schneidet, ein Resultat, das sich auch a priori.aus der charakteristischen Eigenschaft der logarithmischen Spirale und der
geometrischen Bedeutung des Winkels v (siehe Fig. 108) hätte erschließen lassen.
Diese logarithmische Spirale berührt in der Tat jeden durch den Punkt P,:gehenden Kreis des ausgezeichneten Büschels in dem dem Wert === y entsprechenden konjugierten Punkt, freilich auch schon vorher in dem nicht konjugierten Punkt =y - 7.
d) Der Enveloppensatz für isoperimetrische Probleme:
Für das im vorigen Absatz bestimmte ausgezeichnete Extremalenbüschel durch den Punkt P, gilt nun ein dem Enveloppensatz von
~ 44, c) analoger Satz.
1) Nach KNESER, Konjugierte Punkte beim isoperimetrischen Problem,
Jahresberichte der Schlesischen Gesellschaft für vaterländische
Kultur, 1906.