Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

498 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
enthält, und dessen Enveloppe jede Extremale des Büschels in dem zu
P, konjugierten Punkt berihrt. l)
Für dieses Büschel besteht außerdem die Differentialgleichung (90).
Man kann zu demselben Resultat noch auf einem zweiten Weg gelangen,
der zugleich über den oben ausgeschlossenen Fall II Aufschluß gibt. Dazu führt
folgende aus der allgemeinen Theorie der Kongruenzen2) bekannte Fragestellung:
Greift man aus der Kongruenz (73) ein beliebiges Büschel (78) heraus, so
wird dasselbe im allgemeinen keine Enveloppe besitzen, d. h. es wird keine
Kurve geben, welche von sämtlichen Kurven des Büschels berührt wird. Man
kann sich aber die Aufgabe stellen, alle in der Kongruenz enthaltenen Büschel
zu bestimmen, welche eine Enveloppe besitzen.
Man wird dann auf die beiden Gleichungen (88) und (90) als notwendige
und hinreichende Bedingungen geführt, aus denen sich dann (89) ergibt. Unter
den beiden oben gemachten einschränkenden Voraussetzungen folgt daraus, daß
es ein und nur ein die Kurve eo enthaltendes Büschel gibt, welches eine Enveloppe i' besitzt; dieselbe berührt die Kurven des Büschels in ihren Brennpunkten und liegt daher auf der Brennfläche.
Projiziert man dieses Büschel räumlicher Extremalen mit seiner Enveloppe
~' auf die x, y-Ebene, so erhält man das oben bestimmte ausgezeichnete ebene
Büschel mit seiner Enveloppe i.
Dagegen führt der Fall II auf ein Büschel räumlicher Extremalen, welches
keine Enveloppe besitzt, dessen Kurven aber sämtlich in ihren jeweiligen Brennpunkten einen auf der x, y-Ebene senkrechten Zylinder berühren. Das aus der
Projektion eines solchen Büschels entstehende ebene Büschel hat zwar auch
noch die verlangten Eigenschaften, genügt aber nicht mehr der für die weitere
Entwicklung wesentlichen Differentialgleichung (90).
Beispiel II (Siehe pp. 465, 483, 494):
Aus den Gleichungen (80) berechnet man
- = 422sinrcosr, =- 4Asin2r,
I- =- 2 A sin2 r, = 2 - 2 sin r cos r.
Wir bestimmen zunächst die zum konjugierten Punkt im engeren Sinn gehörige Enveloppe Ö. Hier ist nach (81)
r'(X, S) = t.
Die Differentialgleichung (90) wird also
2rd- 0
mit der Lösung: t.= 2,.
1) Es verdient übrigens hervorgehoben zu werden, daß der konjugierte
Punkt Po nicht notwendig der zunächst auf P, folgende Berührungspunkt von o
mit der Enveloppe zu sein braucht; vgl. unten Beispiel II.
2) Vgl. DARBOUX, loc. cit., p. 6, und die Untersuchungen von BLISS und
MAsoN über das räumliche Variationsproblem ohne Nebenbedingungen, Transactions of the American 2JIathematical Society, Bd. 1X (1908), p. 450.