Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 62. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte. 491
die wir dann auch auf die partiellen Ableitungen dieser Funktionen,
sowie auf die Funktionen tl, H2, V ausdehnen.
Setzen wir
~ = cSta - t9P, = Ucp,. - - ltn, (68)
so folgt ganz wie in ~ 61,a), daß diese beiden Funktionen den Differentialgleichungen
-e ' (- du\) 0
Xe tl dt (ie dt)-~'
2) dt (/t du\ (69)
dS12 ~' \ 1 t
genügen, und aus (65) und (66) folgt, daß
(t)= O, '(t1)-= 1,
(7o)
(t)- o, '(t) =0.
Für x ==, A = 20 gehen die Differentialgleichungen (69) in die Differentialgleichungen (50) über, und durch Vergleichung von (70) und
(51) folgt dann, daß
u (t, xoo) -= Q(t), (t, xo, ) = v(t), (71)
vorausgesetzt, daß die in ~ 61, b) nur bis auf ein additives konstantes
Vielfaches von u(t) bestimmte Funktion v passend normiert wird; Q ist
eine von Null verschiedene Konstante.
b) Die Kongruenz von räumlichen Extremalen durch den Punkt P::
Wir betrachten jetzt das Integral K, genommen entlang der Extremalen (~x vom Punkt P((t1) bis zu einem variabeln Punkt P(t)
und bezeichnen den Wert desselben als Funktion von t, x, m mit Z (t, x,;):
t
X (ytf) = I(t, x, ) dt. (72)
Und nunmehr errichten wir nach dem Vorgang von WEIERSTRASS1)
im Punkt P eine Normale zur x, y-Ebene, die nach Größe und Richtung gleich dem Integralwert x(t, x, ) ist, indem wir eine bestimmte
Richtung der Normalen als positiv festlegen. Führen wir diese Konstruktion für jeden Punkt von (S, aus, so erhalten wir eine der
ebenen Extremalen (E; zugeordnete räumliche2) Extremale ('x, welche
1) Vorlesungen 1879.
2) Die Bezeichnung ist insofern gerechtfertigt, als diese Raumkurve Extremale fiiür das folgende Variationsproblem ist, welches in gewissem Sinn mit
dem gegebenen isoperimetrischen Problem äquivalent ist: Unter allen Raumkurven,
welche die beiden Punkte x = x-, y = y1, z = und x = x2, y = y2, z = ver