Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

482 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Größe k so klein wählen, daß auch D(t, t) in t3 und t4 entgegengesetzte Zeichen hat; daher muß D(t, t,) in einem zwischen t8 und t4
gelegenen Punkt t1 verschwinden. Wenn aber D(t[, t) = 0, so können
wir zwei Konstante c, c, nicht beide gleich Null, so bestimmen, daß
ci(tI) + C2(tr) = o,
cjin(t ) + c2n(t1) = 0.
Wählen wir jetzt
w = cl + c2v in [tlt],
w - 0 in [t t2]
und geben der Konstanten gt den Wert - c, so hat w alle in dem
Satz von ~ 60, a) verlangten Eigenschaften und genügt überdies der
Differentialgleichung
P(w) + F = O.
Diese Funktion w macht aber ö2J negativ, da für sie
tl
M2J_ E dw dt.
Es bleibt jetzt noch der Ausnahmefall:') (tl) = 0 zu untersuchen. Derselbe kann nur dann eintreten, wenn gleichzeitig m(t ) = 0
und v(t) = 0, wie sofort aus (54) und (53) folgt, wenn man beachtet, daß H+= 0 in [ttj2], und daß u und u' nach ~ 11, a) nicht
gleichzeitig verschwinden können.
In diesem Fall können wir nun zunächst 6SJ- 0 machen durch
die zulässige Funktion
w = u in [tt], w - 0 in [Ltt21,
wie aus der Form (44) der zweiten Variation folgt, wobei man sich
der Definition der Funktion m zu erinnern hat.
Darüber hinaus läßt sich dann aber mittels einei Modifikation
des von SCHwARZ für den Beweis der Notwendigkeit der Jacobi'schen
Bedingung beim Problem ohne Nebenbedingung benutzten Methode
(~ 14, b)) beweisen, daß man 62J auch negativ machen kann.
Man zeigt nämlich leicht, daß man stets eine Funktion co von t
bilden kann, welche in [tt2] von der Klasse C" ist und den Bedingungen t
C() o,(t ) 2) == 0, Jo()(, Vd vt = 0
tl
1) Vgl. wegen dieses Ausnahmefalles BOLZA, Mathematische Annalen,
Bd. LVII (1903), p. 44.