Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 6. Bemerkungen zur Integration der Euler'schen Differentialgleichung. 35
-1 < - y1 <
erfüllen, geht eine und nur eine dieser Parabeln ).
b) Ausartungen2) der Euler'schen Differentialgleichung:
Wir betrachten weiter den speziellen Fall, wo die Ordnung der
Euler'schen Differentialgleichung sich erniedrigt. Dies tritt dann
und nur dann ein, wenn
fy, (x, y,')- 0 (46)
für alle x, y, y'. In diesem Fall reduziert sich die Euler'sche
Differentialgleichung entweder auf eine endliche Gleichung, oder auf
die Identität 0 = 0, aber niemals auf eine Differentialgleichung erster
Ordnung 3).
Denn wenn fy y, identisch verschwindet, so folgt durch zweimalige
Integration der Gleichung (46) nach y', daß f selbst eine ganze lineare
Funktion von y' sein muß, also von der Form
f= M(x, y) + N(x y)y'.
Setzt man dies aber in (I) ein, so kommt
My- N=0O. (47)
Hier sind nun zwei Fälle zu unterscheiden:
Entweder die Gleichung (47) ist keine Identität; dann stellt sie
eine endliche Gleichung zwischen x und y dar. Wir erhalten also
nur eine einzige Kurve als mögliche Lösung, und es wird dann im
allgemeinen nicht möglich sein, die weitere Bedingung zu erfüllen,
daß die Kurve durch die beiden gegebenen Punkte P1 und P2 geht.
Beispiel:
f= x2+ y2+ yy'.
Die Differentialgleichung (I) reduziert sich hier auf die endliche Gleichung:
y — 0. Die Aufgabe ist also nur lösbar, wenn die beiden gegebenen Punkte
auf der x-Achse liegen.
1) Dies folgt unmittelbar aus einem allgemeinen Satz von E. H. MooRE
(siehe ~ 26, b)), läßt sich aber auch leicht direkt beweisen.
2) Schon von EULER behandelt, Methodus inveniendi etc., Kap. II, ~ 32.
3) Auch in dem allgemeineren Fall, wenn f höhere Ableitungen von y enthält, kann die Euler'sche Differentialgleichung sich nie auf eine Differentialgleichung ungerader Ordnung reduzieren, vgl. FROBENIUS, Journal für Mathematik, Bd. LXXXV (1878), p. 206, und HIRscH, Mathematische Annalen,
Bd. XLIX (1897), p. 49.
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