Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 60. Die zweite und vierte notwendige Bedingung. 471.'x', 8y' enthält, sondern nach ~ 8, b) außerdem noch eine lineare
Form der zweiten Variationen, nämlich
FXä2x + F 62y + F 2Zx' + F 2y',
weil wir es hier nicht mit Variationen von dem einfachsten Typus
(17) von ~ 26 zu tun haben, sondern mit solchen von dem allgemeineren Typus (3).
Diese zweiten Variationen lassen sich nun aber eliminieren,l)
wenn man die Ungleichung (35) mit der aus der Differentiation der
Gleichung: K = 1 nach E folgenden Gleichung: ä2K = 0 in der Weise
kombiniert, daß man die letztere mit der Konstanten A, multipliziert
zur ersteren addiert:
2J + o02i K- 0. (36)
Die Glieder, welche zweite Variationen der unbekannten Funktionen
enthalten, vereinigen sich nunmehr zu dem Integral
<(f1I2x + Häyy + Hx"'9 + H,2y')dt, (37)
wobei in der Funktion H die Konstante A = 2, zu setzen ist.
Wendet man auf dieses Integral die Lagrange'sche partielle
Integration an und beachtet einerseits, daß die Extremale (o den
Differentialgleichungen (18) mit dem Wert ~I1 der isoperimetrischen
Konstanten genigt, andererseits, daß die Funktionen 6dx, 82y in t,
und t2 verschwinden, wie sich durch zweimalige Differentiation der
in E identischen Gleichungen
(t2, E) =, Y(t2 E) =,
ü(12, f)= X22 y E) = y
ergibt, so erkennt man, daß das Integral (37) gleich Null ist, und
daß sich daher die Ungleichung (36) auf
t2
82Jf[(x)2 +. * + y,(}y')2] dt >i 0 (38)
reduziert. Diese Ungleichung muß bestehen für jedes Funktionenpaar dx, dy, welches aus einer einparametrigen Schar von zulässigen
Variationen durch den d-Prozeß ableitbar ist. Die Gesamtheit dieser
Funktionenpaare ist aber nach dem Weierstraß'schen Lemma von
~ 59, a) identisch mit der Gesamtheit derjenigen Funktionenpaare
1) Vgl. eine hierauf bezügliche Bemerkung von SWIFT, Bulletin of the
American Mathematical Society, Bd. XIV (1908), p. 373.