Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

470 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Endlich liegt die Extremale (31) für jedes den Ungleichungen
(32) genügende Wertsystem von t, xo, yo, 00, ganz im Innern des
Bereiches 9i.
Zum Beweis dieser Behauptungen schreibe man die Differentialgleichung (I) unter Einführung des Tangentenwinkels 0 in der den
Gleichungen (43) von ~ 27 entsprechenden Normalform und betrachte A
als vierte, der Differentialgleichung
cl4= o
dt
genügende unbekannte Funktion. Auf das so erweiterte System von
Differentialgleichungen wende man dann die Sätze von ~ 24 an.
Gibt man in (31) einer der Größen xo, yo, 00 einen festen
numerischen Wert und betrachtet die übrigen beiden als Integrationskonstanten, so erhält man das bereits unter b) erwähnte ~allgemeine
Integral" der Differentialgleichungl (I), zunächst in einer Normalform,
von der man dann wie in ~ 27, c) zur allgemeinsten Form übergehen kann.
~ 60. Die zweite und vierte notwendige Bedingung.
Wir nehmen jetzt an, wir hätten eine Extremale
(o: x = x(t), y i (t), yt ( t = t2
gefunden, welche der Differentialgleichung (I) mit einem bestimmten
Wert;2 der isoperimetrischen Konstanten genügt, von P1 nach P2
führt und dem Integral K den vorgeschriebenen Wert 1 erteilt.
Weiter setzen wir voraus, die Kurve (o sei von der Klasse C"' und
liege ganz im Innern des Bereiches J9, und endlich verschärfen wir
die in ~ 59, a) über die Funktion V gemachte Annahme dahin, daß
sie entlang der Extremalen (o in keinem noch so kleinen Teilintervall von [t1t2] identisch verschwinden soll.
a) Das Analogon der Legendre'schen Bedingung:
Zur Aufstellung weiterer notwendiger Bedingungen wenden wir
uns nunmehr zunächst zur Untersuchung der zweiten Variation.
Wir betrachten irgendeine einparametrige Schar von zulässigen
Variationen (3); für dieselbe muß dann nach (14)
d2J 0 (35)
sein. Bei der Bildung von 6sJ haben wir zu beachten, daß im gegenwärtigen Fall der Integrand nicht nur die schon beim Problem ohne
Nebenbedingungen (~ 28) auftretende quadratische Form in Jx, dy,