Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

468 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
damit t1 <ta. Da die Kurve durch die beiden Punkte P1 und P2 gehen soll,
so müssen die folgenden Gleichungen erfüllt sein
x, P + cct, y, + = ~+ aChtl,
x2 = 2 + at2, * 2 + =+ a Cht.2.
Ferner muß die Kurve die vorgeschriebene Länge haben; das gibt die weitere
Gleichung
a (Sht2 - Sh t,) = 1.
Aus diesen fünf Gleichungen haben wir die Unbekannten ~a,,, xl, tt2 zu bestimmen. Führt man statt t1 und t2 die beiden Größen
t2 + t1 x2 + x1 -2 2a
t2 - tl x - x,
2 Üa
ein, so leitet man leicht aus den obigen Gleichungen die folgenden ab
- y + 2 a Shu Shv,
(27).
= 2aChC Shv.
Daraus folgt
Th + -- -. (28)
Da nach Voraussetzung
> /(x2- x1) + (Y2 -y1)2 > L Y - Y 1,
so hat jede der beiden in (28) enthaltenen Gleichungen eine Lösung it. Ferner
folgt aus (27)
]/1 _-(yy) _ 2 a Sh, also Shv 2(l - (-y ) k.
2 yi), X2 -- X1
Da k> 1, so hat diese transzendente Gleichung eine positive Wurzel v, wie
sich aus der Diskussion der durch die Funktion Shv - kv von v dargestellten
Kurve ergibt.
Nachdem It und v bestimmt sind, ergeben sich die Werte von a, P, t, t1,
unmittelbar.
Jedes der beiden Systeme von Kettenlinien (26) enthält also eine Iettenlinie, welche den Anfangsbedingungen genigt. 1)
e) Existenztheoreme für isoperimetrische Extremalen:
Aus dem Satz von ~ 27, a) folgt unmittelbar: Durch einen
Punkt AO(aO, bo) im Innern des Bereiches E9 läßt sich in einer vorgeschriebenen Richtung yo eine und nur eine Extremale der Klasse C'
mit einem vorgeschriebenen Wert Ao der isoperimetrischen Konstanten Al konstruieren, vorausgesetzt daß
H_ (a0, bo, cos 7y, sin yo; 20) + 0. (29)
1) Hierzu weiter die Übungsaufgaben Nr. 1-9, 18-22 am Ende dieses Kapitels.