Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 59. Die Euler'sche Regel. 459
Nun wird die Gleichung (4) befriedigt durch = 0, - == 0, weil
ja die Kurve o z als zulässige Kurve der isoperimetrischen Bedingung
(1) genügt. Ferner ist die Funktion K(F, e1) in der Umgebung der
Stelle E = 0, - == 0 von der Klasse C". Wenn wir daher s, N so
wählen, daß die Größe
t2
(J)ao= x + Gyi + -xv + Gy,)dt A-K
/1
von Null verschieden ist, so können wir nach dem Satz über implizite
Funktionen die Gleichung (4) in der Umgebung der Stelle = 0,
1 == 0 eindeutig nach Er auflösen, und die erhaltene Lösung: 1 = — (E)
verschwindet für E = 0, ist in der Umgebung dieser Stelle von der
Klasse C", und es ist
(d )s ~ K (6)
wenn wir analog
t2
tl
(^),=J(^Gi + y,<v? + G-r + G,'I) = o
setzen; dabei soll überall der Index 0 das Nullsetzen von e, resp. von
E und E1 andeuten.
Tragen wir für E8 die Funktion %(E) in (5) ein, so erhalten wir
eine einparametrige Schar von Variationen der Kurve eo:
x =X(t, E, Z(E))- d(t 6), y = Y(t, E, X(E)) (t, 6), (7)
welche alle verlangten Eigenschaften besitzt.
Aus (6) folgt, daß für diese Schar
x "O el( )= 8 (1 Ko i). (8)
Es wirft sich jedoch die Frage auf, ob sich die Funktionen
1, % stets so wählen lassen, daß K1 + 0. Dies ist nur dann unmöglich, wenn das Integral K, für alle Funktionen I, 1, von den
angegebenen Eigenschaften verschwindet. Das würde aber nach ~ 26, a)
Die zweite Gleichung bestimmt 2 und zeigt, daß X jedenfalls von t, r unabhängig
ist; aus der ersten folgt dann die Euler'sche Regel.
Dies ist wohl der einfachste strenge Beweis der Euler'schen Regel. Daß
wir denselben trotzdem im Text nicht gewählt haben, ist mit Rücksicht auf die
Entwicklungen von ~ (0 üiber die zweite Variation geschehen.
Vgl. auch KNESER, Euler und die Variation.Frechnung, Abhandlungen zur
Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, Bd. XXV (1907), p. 50.