Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zu Kapitel VI bis IX. 453
Daraus folgt die Existenz einer diskontinuierlichen Lösung P oP3 P4 P1, bestehend aus der Senkrechten PPo P3 vom Punkt Po auf die Schranke: y = k, dem
Segment POP4 der Schranke und der Senkrechten P4P, auf die Schranke..
Diese diskontinuierliche Lösung liefert stets wenigstens ein relatives Minimum.
Läßt man den zweiten Endpunkt P1 eine kontinuierliche Lösung (Parabel) vom
Punkt P, an beschreiben, so liefert zunächst die kontinuierliche Lösung den
kleineren Wert für das Aktionsintegral, bis der Punkt P1 mit einem bestimmten
zwischen P, und P`o liegenden Punkt P'' zusammenfällt, in welchem beide Lösungen denselben Wert liefern. Jenseits des Punktes P' liefert dann die diskontinuierliche Lösung den kleineren Wert. Der geometrische Ort des Punktes
PO' wird in Polarkoordinaten mit der positiven y-Achse als Achse durch die
Gleichung
(k + r sin2 ) - k-r cos2-)= k + (k -r cos )
gegeben (~~ 52, b) und 57, e)).
Die Frage des absoluten Minimums mittels der auf p. 436 mitgeteilten Methode zu diskutieren. (TODHUNTER)
39*. Sollen die orthogonalen Trajektorien der Kurvenschar
U(x, y) = konst. (45)
zugleich Extremalen für das Aktionsintegral1)
=J /2(U+ h) ( (" Y) d2 (46)
sein, so ist notwendig und hinreichend, daß das Potential U der partiellen Differentialgleichung genügt
Ux Uy(UZx - Uzy) = Uxyi (Ux2- U), (47)
welche ausdrückt, daß Ux + U2 eine Funktion von U (d. h. also die Kraft eine
Funktion des Potentials) ist.2)
Andeutung: Man beachte, daß für das Integral(46) transversal = orthogonale
und wende die Sätze3) von ~ 20, b) an.
Zusätze: 1. Sind die orthogonalen Trajektorien der Schar (45) Extremalen
für das Integral (46), so sind sie stets gerade Linien. 2. Sind die orthogonalen
1) Vgl. Aufgabe Nr. 9 auf p. 298.
2) Wegen Verallgemeinerung dieses Satzes auf die Bewegung eines Punktes
auf einer Fläche vgl. DE SAINT-GERIMAIN, Journal de Mathematiques (3) Bd. II
(1876), p. 325, ENNEPER, Göttinger Nachrichten, 1869, p. 62 und STÄCKEL,,
Dissertation, Berlin 1885, p. 11.
s) Der hier in Frage kommende Satz ist folgendermaßen zu berichtigen:
"Eine Kurvenschar F(x, y) =konst. kann nur dann Transversalenschar für ein
gegebenes Variationsproblem sein, wenn eine Funktion von F existiert:
W==I- (F), welche der Beltrami-Hamilton'schen Differentialgleichung (47)
genügt."