Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

452 Übungsaufgaben zu Kapitel VI bis IX.
Die Tangente an eo (resp. o) im Punkt PO möge die x-Achse im Punkt
T" (resp. To) schneiden. Die Tangente von 7o aus an den absteigenden Ast von
eo möge denselben im Punkt Eo berühren; die Tangente von T0 aus an den
aufsteigenden Ast von o möge denselben im Punkt Eo berühren. Dann muß:
P1 > E, P2 -< E sein.
Ferner sei T, der Schnittpunkt der Tangente an eo in P1 mit der x-Achse
und Pi' der Berührungspunkt der Tangente von T1 aus an den aufsteigenden
Ast von (0. Dann ist es für ein Minimum weiter nötig, daß
P2 < Pi'.
Sind diese Bedingungen in der durch Unterdrückung des Gleichheitszeichens
charakterisierten stärkeren Form erfüllt, so liefert die gefundene Lösung in der
Tat ein Minimum des Flächeninhalts.
Andeutung: Zum Beweis der notwendigen Bedingungen wende man die
Differentiationsmethode von ~ 38, passend modifiziert, an; für den Hinlänglichkeitsbeweis kombiniere man die hinreichenden Bedingungen für ein gewöhnliches Extremum mit den hinreichenden Bedingungen für kontinuierliche
Lösungen von Variationsproblemen mit festen Endpunkten.
(TALQVIST, MARY E. SINCLAIR)
32. Das Snellius'sche Brechungsgesetz mit den Methoden von ~ 51 abzuleiten.
33. Die Weierstralß'sche Bedingung (46), (47) von ~ 52 mittels der Variationsmethode zu beweisen. (WEIERSTRASS)
34. Die dem Beispiel XX entsprechende Verallgemeinerung für geodätische
Linien aufzustellen (~~ 52, 53).
Andeutung: Benutze Gleichung (39) von ~ 26.
35. Beispiel I mit der Modifikation, daß die zulässigen Kurven auf den
Bereich
y c>
beschränkt werden (~~ 52, 53). (KNESER)
36. Im Innern eines konvexen Bereiches W sind zwei Punkte PS, P2 gegeben..Die kürzeste Verbindungskurve von P1 nach P, zu ziehen, welche den
Bereich Rt nicht verläßt und mit der Begrenzung desselben einen nicht vorgeschriebenen Punkt P, gemein hat (~ 52).
Lösung: Eine gebrochene Linie P1Po0P2, deren Segmente P1Po, PoP2
im Punkt Po mit der Tangente der Begrenzung gleiche Winkel bilden.
37. Die vorige Aufgabe auf geodätische Linien zu verallgemeinern.
(KNESER)
38*. Bei dem Prinzip der kleinsten Aktion, angewandt auf die Bewegung
eines schweren materiellen Punktes in einer vertikalen Ebene, ) sind die zulässigen Kurven auf den Bereich: y k beschränkt.
1) Vgl. auch für die Bezeichnung Aufgabe Nr. 10 und 11 auf pp. 296
und 297.