Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 56. Ein Hilfssatz iber die Existenz einer Grenzkurve. 425
nur den einen Häufungspunkt lL(lr), woraus die Behauptung nach
dem oben') angeführten Lemma folgt.
Jetzt betrachten wir weiter die Punktmenge
{(P2(,3)}, =- 1 2,.., (6b)
und wenden auf sie die analogen Schlüsse an, und indem wir so fortfahren, gelangen wir nach n-maliger Wiederholung des Verfahrens zu
einer unendlichen Kurvenfolge
( n 22***
welche in RTCn_ enthalten ist, und welche die Eigenschaft hat, daß
1 = CO
für k = 1, 2... n, wobei P.(rk) den dem Wert t = k entsprechenden
Punkt der Kurve Q( bezeichnet.
Nunmehr bezeichnen wir: -C= k P= Pk; alsdann hat die
Kurvenfolge.:,,
die Eigenschaft, daß fiür jedes k
L Pv(rk) = H k). (8)
1 = 00
Denn da 9RTCk+ in rOX enthalten ist, so ist die Punktmenge
Pk (k), P + 1 (k), k +2 (k),..
welche dieselben Häufungspunkte hat wie die Menge
{ P (k), 1,2,..,
in der Menge
{P;:(r)}, - =, 2,...
enthalten und hat daher ebenso wie diese den einzigen Häufungspunkt
H(rk), woraus, wie oben, die Behauptung (8) folgt.
c) Konstruktion der Grenzkurve: P').,
Von dieser Kurvenfolge {(} )
müssen wir nun nachweisen, daß sie p (t)
in dem angegebenen Sinn gegen eine
Grenzkurve konvergiert. k (/~ ()
Wir haben also zunächst zu zeigen,
daß nicht nur für die Werte t = rk der Fig. 99.
p/(t)
Menge (5), sondern für jeden be- v
liebigen Wert von t im Intervall [0 1] der zugehörige Punkt P,(t) der
1) Vgl. p. 424, Fußnote 2).