Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

422 Neuntes Kapitel. Das absolute Extremum.
C) Das Problem ist positiv regulärl) in demselben Bereich o0.
D) Der Bereich 9qo ist beschränkt, abgeschlossen und konvexe),
d. h. die Verbindungsgerade je zweier Punkte von SQ liegt ganz in 9Ro.
Aus der Voraussetzung C) folgt nach ~ 35, c), daß das (verallgemeinerte) Integral J entlang jeder ganz in &o gelegenen rektifizierbaren Kurve einen bestimmten endlichen Wert hat.
Es soll nun unter den Voraussetzungen A) bis D) bewiesen werden:
Sind A1 und A2 irgend zwei verschiedene Punkte von 9o" so gibt
es stets mindestens eine von AÄ nach A, führende, ganz in R0o gelegene
rektifizierbare Kurve e, welche für das verallgemeinerte Integral J ein
absolutes Minimum liefert in Beziehung auf die Gesamtheit aller rektifizerbaren Kurven, welche in qo, von A1 nach A2 gezogen werden können.
Diese Kurve t besteht aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge von Extremalenbogen der Klasse C"', welche abgesehen von
ihren Endpunkten im Innern des Bereiches Jqo liegen, und aus Punkten
oder Punktmengen der Begrenzung von,Q. Die Kurve S hat überdies keine Doppelpunkte.
~ 56. Ein Hilfssatz über die Existenz einer Grenzkurve.
Wir basieren den zu führenden Existenzbeweis nach dem Vorgang von LEBESGUE3) und CARATHEODORY4) auf den folgenden allgemeinen Satz iber die Existenz einer Grenzkurve:
Es sei eine unendliche Menge von rektifizierbaren Kurven, {(},
gegeben;, welche zwei gegebene Punkte A, und A2 verbinden, und welche
die Eigenschaft haben, daß die Menge ihrer Längen beschränkt ist.
Alsdann kann man aus der Menge { } eine unendliche Folge von
Kurven r.: (.2
hcrausgreifen derart, daß die Kurven ~( gegen eine ebenfalls die Punkte
A, und A2 verbindende, rektifizierbare Kurve t konvergieren.
1) Vgl. p. 214.
2) Die folgenden Resultate bleiben bestehen, wenn die Voraussetzung D)
durch die allgemeinere Voraussetzung D') ersetzt wird:
D') Der Bereich Ro ist beschränkt, perfekt, zusammenhängend und zu
jedem positiven E gehört eine zweite positive Größe d2, derart, daß je zwei
Punkte P', P" von Ko, deren Entfernung kleiner ist als d., durch mindestens
eine ganz in Ro gelegene, gewöhnliche Kurve ü verbunden werden können, für
welche: J <E. (Vgl. eine analoge Bemerkung von HAHN, Monatshefte für
Mathematik, Bd. XVII (1906), p. 67, Fußnote 3)).
3) loc. cit. p. 346.
4) loc. cit. p. 493. Der im Text gegebene Beweis schließt sich im wesentlichen an die Darstellung von Caratheodory an.