Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

420 Neuntes Kapitel. Das absolute Extremum. zu einem Minimum zu machen in Beziehung auf die Gesamtheit aller in der Form y = y(x) darstellbaren Kurven der Klasse C', welche durch zwei gegebene Punkte (- 1, a) und (+ 1, b) gehen, wobei a = b. Die untere Grenze dieses Integrals ist gleich Null. Denn einerseits kann das Integral sicher nie negative Werte annehmen, während andererseits zulässige Kurven angegeben werden können, welche dem Integral einen beliebig kleinen Wert erteilen. So ist z. B. die Funktion x Ar tg - a+b b —a - 2 2 1 Arc tgeine zulässige Funktion, für welche man leicht die Ungleichung +1 J < Äst 2 + 2) dx = -a)2 _~ 2Arctg verifiziert, aus der durch Verkleinerung des Parameters E die Behauptung folgt. Die untere Grenze des Integrals ist also in der Tat gleich Null. Trotzdem gibt es keine zulässige Kurve, für welche das Integral den Wert Null annimmt. Denn wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von y' wäre dies nur möglich, wenn der Integrand beständig gleich Null, d. h. y konstant wäre, und dies widerspricht der Voraussetzung a + b. Obgleich somit der Schluß von der Existenz einer endlichen unteren Grenze auf die Existenz eines Minimums nicht haltbar ist, so wirft sich doch die Frage auf, ob es nicht möglich ist, bei einem gegebenen Variationsproblem der Funktion unter dem Integrationszeichen oder der Mannigfaltigkeit der zulässigen Kurven (oder beiden) solche Beschränkungen aufzuerlegen, daß man die Existenz eines absoluten Extremums a priori feststellen kann, ähnlich wie man etwa von einer in einem Intervall [ab] definierten Funktion f(x) a priori die Existenz eines Maximums und Minimums behaupten kann, vorausgesetzt, daß man der Funktion die Bedingung der Stetigkeit auferlegt. HILBERT1) hat nun in der Tat eine Methode ersonnen, durch die diese wichtige Frage in Angriff genommen und in gewissen Fällen vollständig erledigt werden kann. Er hat den Grundgedanken derselben an dem Beispiel der kürzesten Linie auf einer Fläche erläutert 1) Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. VIII (1899), p. 184.

/ 736
Pages

Actions

file_download Download Options Download this page PDF - Pages 408-427 Image - Page 408 Plain Text - Page 408

About this Item

Title
Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.
Author
Bolza, O. (Oskar), 1857-1942.
Canvas
Page 408
Publication
Leipzig,: B. G. Teubner.
1909.
Subject terms
Calculus of variations

Technical Details

Link to this Item
https://name.umdl.umich.edu/acm2517.0001.001
Link to this scan
https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/acm2517.0001.001/433

Rights and Permissions

The University of Michigan Library provides access to these materials for educational and research purposes. These materials are in the public domain in the United States. If you have questions about the collection, please contact Historical Mathematics Digital Collection Help at [email protected]. If you have concerns about the inclusion of an item in this collection, please contact Library Information Technology at [email protected].

DPLA Rights Statement: No Copyright - United States

Manifest
https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/api/manifest/umhistmath:acm2517.0001.001

Cite this Item

Full citation
"Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text." In the digital collection University of Michigan Historical Math Collection. https://name.umdl.umich.edu/acm2517.0001.001. University of Michigan Library Digital Collections. Accessed May 29, 2025.
Do you have questions about this content? Need to report a problem? Please contact us.