Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

420 Neuntes Kapitel. Das absolute Extremum.
zu einem Minimum zu machen in Beziehung auf die Gesamtheit aller
in der Form y = y(x) darstellbaren Kurven der Klasse C', welche
durch zwei gegebene Punkte (- 1, a) und (+ 1, b) gehen, wobei a = b.
Die untere Grenze dieses Integrals ist gleich Null. Denn einerseits kann das Integral sicher nie negative Werte annehmen, während
andererseits zulässige Kurven angegeben werden können, welche dem
Integral einen beliebig kleinen Wert erteilen. So ist z. B. die Funktion
x
Ar tg -
a+b b —a -
2 2 1
Arc tgeine zulässige Funktion, für welche man leicht die Ungleichung
+1
J < Äst 2 + 2) dx = -a)2
_~ 2Arctg
verifiziert, aus der durch Verkleinerung des Parameters E die Behauptung folgt.
Die untere Grenze des Integrals ist also in der Tat gleich Null.
Trotzdem gibt es keine zulässige Kurve, für welche das Integral den
Wert Null annimmt. Denn wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von
y' wäre dies nur möglich, wenn der Integrand beständig gleich Null,
d. h. y konstant wäre, und dies widerspricht der Voraussetzung a + b.
Obgleich somit der Schluß von der Existenz einer endlichen
unteren Grenze auf die Existenz eines Minimums nicht haltbar ist,
so wirft sich doch die Frage auf, ob es nicht möglich ist, bei einem gegebenen Variationsproblem der Funktion unter dem Integrationszeichen
oder der Mannigfaltigkeit der zulässigen Kurven (oder beiden) solche
Beschränkungen aufzuerlegen, daß man die Existenz eines absoluten
Extremums a priori feststellen kann, ähnlich wie man etwa von einer
in einem Intervall [ab] definierten Funktion f(x) a priori die Existenz
eines Maximums und Minimums behaupten kann, vorausgesetzt, daß
man der Funktion die Bedingung der Stetigkeit auferlegt.
HILBERT1) hat nun in der Tat eine Methode ersonnen, durch die
diese wichtige Frage in Angriff genommen und in gewissen Fällen
vollständig erledigt werden kann. Er hat den Grundgedanken derselben an dem Beispiel der kürzesten Linie auf einer Fläche erläutert
1) Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,
Bd. VIII (1899), p. 184.