Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 54. Der Rotationskörper kleinsten Widerstandes. 417
Wir setzen der Allgemeinheit halber voraus, daß die Kurve S
vom Punkt P, aus zunichst ein Stück weit der positiven y-Achse
entlang läuft und diese erst im Punkt P^ verläßt. Darin soll der
Fall mit inbegriffen sein, wo der Punkt P5 mit dem Punkt Po zusammenfällt, wo die Kurve also nur den Punkt Po mit der y-Achse
gemein hat. Wegen der Bedingungen (64) und 9
(65) liegt dann der Bogen PP5 der Kurve -
abgesehen von seinem Anfangspunkt P5 ganz
im Innern des ersten Quadranten. Durch einen i
beliebigen Punkt P4 des Bogens P5P, geht
also eine und nur eine Feldextremale; dieselbe 1
möge die y-Achse im Punkt P3 treffen. Wir 3
betrachten alsdann das Integral J, genommen 5
vom Punkte PO entlang der y-Achse bis zum->
Punkt P9, von da entlang der Feldextremalen ig. 98.
P P4 bis zum Punkt P4, und endlich vom
Punkt P4 entlang der Kurve ( bis zum Punkt P2 und bezeichnen seinen
Wert mit S(s), unter s den Parameter des Punktes P4 auf der Kurve (
verstanden, also
S(s) = J3 + J34 + J42 = W(x4, Y) +f(, F, y, x' y')ds.
Es ist dann
S(s2) = J1 + J2, S(S5) = J + 52,
also
/A = (J5o + J5) - (JO1 + ( 12) = - [S(S2) - S(s5)],
woraus sich nunmehr in der üblichen Weise der Weierstraß'sche
Satz ergibt:
aJ= _j8(, y; p, q;, y')ds,
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wenn p,q die Richtungskosinus der durch den Punkt P4 gehenden
Feldextremalen in diesem Punkt bedeuten. Nun ist aber
Q,- -t - - \ - ') 2 [(t2 -.l)y' + 2 t;i]
8(x, y; p, y ) = J( --- '[t t aDa t>1, außer im Punkt P9, und ferner '>0, y'O, ohne daß
beide gleichzeitig verschwinden, so ist
e8(ny; pqm x, u z g N
entlang dem Bogen PoP", und zwar gleich Null nur in denjenigen