Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

416 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
einfach und lückenlos überdeckt, da überdies die durch Auflösung
der Gleichungen (74) nach t und a erhaltenen inversen Funktionen
im Bereich (77) von der Klasse C' sind. Letzteres ergibt sich nach
dem Satz über implizite Funktionen daraus, daß die Funktionaldeterminante A(t, a) der Schar (74) gleich ist dem Zähler des Ausdrucks
für x'(t), multipliziert mit a, weshalb A(t, a)> 0 im Bereich (76).
Sei jetzt P4 irgend ein Punkt im Innern des ersten Quadranten,
P3 der Punkt, in welchem die durch P4 gehende Feldextremale die
y-Achse schneidet; so definieren wir nach KNESER das zum obigen
Feld gehörige Feldintegral als das Integral J genommen vom Punkt
P, entlang der y-Achse bis zum Punkt P, und von da entlang der
Feldextremalen P P4 bis zum Punkt P4. Als Funktion von t und a
(wie wir zur Abkürzung statt t4, a4 schreiben) bezeichnen wir dasselbe mit u(t, a), als Funktion von x und y mit W(x, y). Da
Jo3= =y, und = aY(1)-=4a,
so ist
u(t, a) = 8a2 +;f7(t, a) dt,
wo e(t, a) wieder durch die Gleichung (83) von ~ 27 definiert ist.
Bildet man jetzt die partiellen Ableitungen von u(t, a) in der üblichen
Weise und beachtet, daß
9a(1, a) 0, p(1,a)4, a) 4, = y= 4a,
so erhält man
ot-I (, aI)
= 5, a)cp,(t, a) + ^,t a)cp(t, a),
also cenau dieselben Ausdrücke wie in der allgemeinen Theorie für
die partiellen Ableitungen des Feldintegrals, gerechnet von einer Transversalen aus (~ 31, Gleichungen (144) und (146)). Daraus folgt aber
weiter, daß auch die Hamilton'schen Formeln (148) von ~ 31 für
die partiellen Ableitungen der Funktion W(x, y) nach x und y hier
unverändert bestehen bleiben.
Nachdem die Gültigkeit der Hamilton'schen Formeln nachgewiesen ist, läßt sich nun leicht mit Hilfe einer passenden Modifikation der Weierstraß'schen Konstruktion beweisen, daß der unter
c) bestimmte Kurvenzug PoP1 P einen kleineren Wert für das Integral J liefert als jede andere zulässige Kurve (, welche vom Punkt
PO nach dem Punkt P, gezogen werden kann.