Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

408 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
so begnügen wir uns damit, ein hierher gehöriges, nach verschiedenen
Richtungen interessantes, klassisches Beispiel im einzelnen durchzuführen, das Newton'sche Problem des Rotationskörpers von kleinstem
Widerstand.
a) Analytische Formulierung der Aufgabe:
Wir betrachten den Rotationskörper, der durch Rotation der
Kurve ABD um die x-Achse erzeugt wird. Dabei soll der Punkt
S~y~~~~~ A auf der x-Achse liegen; wir wählen
ihn der Einfachheit halber zum Ko~~C ' --- — - B_____ ordinatenanfang. Der Punkt B liege
in der oberen Halbebene, sodaß seine
Ordinate DB positiv ist. Dieser RoR P, ~ L \ tationskörper bewege sich mit kon-./"\ /} ~ ~stanter Geschwindigkeit V in der
Richtung der negativen x-Achse in
"-A ( N D- einem widerstehenden Medium, das
S. u:.^ aus gleichen, gleichmäßig verteilten,
/ \ in Ruhe befindlichen materiellen TeilR' ~- _^ ~, y e chen besteht.
P. / Ist dann die Meridiankurve AB
'>t durch einen Parameter t dargestellt,
c'~~, es der von t bis t2 wächst, so erhält
a BT, man nach NEWTON1) für den WiderFig. 94. stand, welchen der Rotationskörper
P1) PIrincipia philosophiae naturalis, Buch II, Sect. VII, Prop. XXXIV, Scholium
(1686). Newton geht von der Bemerkung aus, daß die Wirkung des Zusammenpralls des Körpers und der Teilchen des Mediums dieselbe ist, als wenn der
Körper ruhte und die materiellen Teilchen mit derselben Geschwindigkeit V in
der Richtung der positiven x-Achse gegen den Körper geschleudert wiirden.
Der Stoß eines einzelnen Teilchens, das im Punkt P den Rotationskörper trifft,
möge nach Größe und Richtung durch den Vektor PQ =f dargestellt werden
(siehe Figur 94), man zerlege denselben in eine normale Komponente PN und
eine tangentiale Komponente PT; letztere ist ohne Wirkung auf den Körper,
wenn die Reibung vernachlässigt wird. Die normale Komponente PN zerlege
man weiter in eine Komponente PL in der Richtung der x-Achse und in eine
Komponente P1-M senkrecht dazu. Gleichzeitig trifft ein zweites Teilchen mit
derselben Geschwindigkeit den Rotationskörper in dem zum Punkt P in Beziehung auf die x-Achse symmetrischen Punkt P'. Die analoge Zerlegung führt
zu einer Komponente P' M' in der Richtung der y-Achse, welche mit der Komponente PM in derselben Geraden liegt, ihr absolut gleich, aber entgegengerichtet
ist. Von dem Stoß PQ bleibt daher nur die Komponente PL fsins 0 als
wirksam übrig, wenn 0 den Tangentenwinkel der Kurve AB iim Punkt P bedeutet.
Sei jetzt n die Anzahl derjenigen Teilchen, welche in der Zeiteinheit durch
die Flächeneinheit der durch Rotation der Ordinate AC- DB um die x-Achse