Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

28 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
Die weiteren Folgerungen aus der Gleichung (31) stützen sich
auf das folgende von Du BOIS-REYMONDi) herrührende
Lemma: Ist N eine Funktion von x, welche stetig ist in [xlx,]
und ist
x2
j'Ndx==O (32)
x1
fiir alle Funktionen i, welche in xx und x2 verschwinden und eine
stetige Ableitung in [x1 x] besitzen, so ist
N= konst. (33)
in [x1 x].
Den folgenden einfachen Beweis hat HILBERT2) in seinen Vorlesungen (Sommer 1899) gegeben:
Man wähle willkürlich vier den Ungleichungen
x1 < a < < ' < < < x
genügende Größen a, ß, a', ß' und konstruiere eine Funktion der
Klasse C', welche folgende Bedingungen erfüllt:
-- 0 in [xa];
V wächst beständig von 0 bis zu einem positiven Wert k, während
x von a bis ß wächst;
r bleibt konstant = k in [ß a'];
X nimmt beständig ab von k bis 0, während x von a' bis ß' wächst;
V =O in [ß'x2].
Die Existenz einer solchen Funktion - und das ist alles,
was zum Beweis erforderlich ist - ist a priori klar3), (vgl. Fig. 2).
Setzt man eine solche
Funktion X in (32) ein, so
|lT f I l!erhält man
Fig. 2. Ndx +- Ndx = O.
a a'
1) Mathematische Annalen, Bd. XV (1879), p. 313. Du BOIS-REYMOND'S
Beweis findet sich bei BOLZA, Lectures on the Calculus of Variations (Chicago 1904)
~ 6, reproduziert. Eine interessante Verallgemeinerung dieses Satzes ist kürzlich von ZERMELO gegeben worden, Mathematische Annalen, Bd. 58 (1904),
p. 558. Vgl. Übungsaufgabe Nr. 47 am Ende von Kap. III.
2) Siehe WHITTEMORE, Annals of Mathematics (2), Bd. II (1901), p. 132.
8) HILBERT gibt ein einfaches Beispiel einer solchen Funktion, siehe WHITTEMORE'S Darstellung. Er bildet zunächst eine den Anforderungen genügende