Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

400 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
beiseite lassen. Denn jede Lösung muß sich zusammensetzen aus einer endlichen
Anzahl von Kettenlinienbogen, von geraden Segmenten parallel der y-Achse und
von Segmenten der x-Achse. Ecken können nach ~ 48, c), Zusatz I, im Innern
der oberen Halbebene nicht auftreten. Eine einfache Überlegung zeigt dann,
daß die beiden gefundenen Lösungen die einzig möglichen Kombinationen darstellen.
Wir werden später1) zeigen, daß eine der beiden Lösungen stets zugleich
auch das absolute Minimum für das Integral J liefert.2)
~ 53. Hinreichende Bedingungen bei Lösungen, welche Segmente
der Grenzkurve enthalten.
Wir nehmen an, wir hätten eine Kurve PP3 P4P2 gefunden,
welche den bisher als notwendig erkannten Bedingungen genügt,
d. h. also:
1. Die Bogen P P, und P4P, sind Extremalen, welche für sich
betrachtet den für ein Minimum bei festen Endpunkten notwendigen
Bedingungen (II), (III), (IV) genügen;
2. entlang dem Bogen PP4 der Grenzkurve ist die Bedingung
(44) erfüllt;
3. in den Übergangspunkten P8 und P4 sind die Bedingungen
(46) und (47) erfüllt.
Überdies möge der Kurvenzug P 3PgP1 keine mehrfachen Punkte
besitzen. Der Bereich 3q möge, um die Ideen zu fixieren, zur Linken
des Bogens P31P4 liegen.
BLISs3) hat gezeigt, daß für reguläre Probleme diese Bedingungen
auch hinreichend sind für ein Minimum des Integrals J, wofern sie
dahin verschärft werden, daß (III) durch (III) und die Bedingung
(44) durch<
T<0 (50)
ersetzt werden.
Da das Problem als regulär vorausgesetzt wird, also F1(x,y, cos,
sin ) # 0 für jedes y im ganzen Bereich 9{, so müssen nach ~ 52, b)
die Extremalenbogen P, P, und P4 P2 in den Punkten P, und P4 die
Grenzkurve ( gleichsinnig berühren.
Da überdies insbesondere
1F_ > 0 entlang (, (51)
1) Vgl. ~ 57, e).
2) Hierzu weiter die Übungsaufgaben Nr. 33-40 am Ende von Kap. IX.
~) Transactions of the American Mathematical Society, Bd. V
(1904) p. 477.