Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 51. Diskontinuierliche Variationsprobleme. 389
Ebenso gibt es eine Schar von ~0-K'urven", deren positive Tangentenrichtung in jedem ihrer Punkte mit der zu demselben Punkt gehörigen Richtung
0 üibereinstimmt.
Hieran knüpft sich die Frage 1): Unter woelchen Bedingungen ist eine 0- Kurve
zugleich eine Extremale? Man findet als notwendige und hinreichende Bedingung, daß die Funktion
Q (x, y) = cos 0 lF (x, y, cos 0, sin 0) + sin 0 Fy (i, y, cos 0, sin 0)
_ - " (38)
- cos 0 F(x, y, cos 0, sin 0) - sin 0 Fy (x, y, cos 0, sin 0),
in welcher 0, 0 durch die Funktionen 0(x, y), 0(x, y) zu ersetzen sind, entlang
der betreffenden 0-Kurve verschwindet.
Wenn eine Extremale mit einer 0-Kurve zusammenfällt, so ist jeder ihrer
Punkte Ecke einer möglichen diskontinuierlichen Lösung, in direktem Gegensatz
zu dem für den Fall =Q| + 0 gefundenen Resultat (~ 49, a)). Von besonderem
Interesse ist der Fall, wo (x, y) identisch in x, y verschwindet. Alsdann ist
jede 0-Kurve einerseits, und jede 0-Kurve andererseits zugleich Extremale.
Man erhält also zwei bestimmte Extremalenscharen: die eine, mit der Schar
der 0-Kurven identisch, enthält den Bogen P1 Po, die andere, mit der Schar der
0-Kurven identisch, enthält den Bogen PoP2. Aus beiden kann man auf unendlich viele Arten Scharen gebrochener Extremalen zusammensetzen, indem man
eine beliebige durch Po gehende Kurve C als Eckenkurve wählt und durch jeden
ihrer Punkte einerseits die 0-Kurve, andererseits die 0-Kurve zieht.
Beispiel XIX (Siehe p. 370).
In dem speziellen Fall, wo a eine Konstante, ist die Funktion
x'2 + y' 92
von x und y unabhängig, also ist hier 1 (x, y) = 0. Für die Lösung Pt Po P2
von Fig. 73 sind die beiden ausgezeichneten Extremalenscharen die beiden
Scharen paralleler Geraden von der Amplitude p und - 3. Brennpunkte sind
hier nicht vorhanden. An der Indikatrix (Fig. 72) liest man ab, daß die Bedingungen (II') und (IV) entlang allen Extremalenscharen des Feldes erfüllt sind.
Man erhält daher ein starkes, aber uneigentliches Minimum. 2)
~ 51. Diskontinuierliche Variationsprobleme.
Wir haben in den vorangegangenen Paragraphen diskontinuierliche
Lösungen von kontinuierlichen Variationsproblemen betrachtet. Die
mathematische Physik liefert jedoch auch Beispiele, bei welchen diskontinuierliche Lösungen dadurch entstehen, daß das vorgelegte Variationsproblem selbst disk/ontilmierlich ist, bei welchen also die Funktion
1) Vgl. CARATREODORY, loe. cit. ~ 8.
2) Hierzu weiter die Üb'uncgsaufgabe Nr. 29 am Ende von Kap. TX.