Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 50. Hinreichende Bedingungen für diskontinuierliche Lösungen. 381
E Po einen Punkt Q so nahe bei E, wählen, daß dessen konjugierter
Punkt Q" vor P2 liegt. Daher können wir nach dem eben bewiesenen Satz von Q nach P2 eine zulässige Kurve ( ziehen, welche
einen kleineren Wert für das Integral J liefert als die gebrochene
Extremale QPP2, womit zugleich gezeigt ist, daß auch die gebrochene
Extremale P1PoP2 selbst kein Minimum liefern kann.
Aus (30) folgt nach ~ 49, c), daß: P"' -< E0. Somit muß a fortiori
sein. - E(31)
Wir erhalten also zunächst für jeden der beiden Punkte PL und
P2 für sich genommen eine Bedingung, nämlich (30) und (31); außerdem muß dann zwischen beiden die der Jacobi'schen Bedingung entsprechende Bedingung (29) erfüllt sein.1)
~ 50. Hinreichende Bedingungen für diskontinuierliche Lösungen.
Die Aufstellung von hinreichenden Bedingungen beruht auf der
Konstruktion eines Feldes von gebrochenen Extremalen und auf der
Ausdehnung des W e i e r s t r a ß'schen Fundamentalsatzes auf ein
solches Feld.
Wir halten dabei an der bereits in ~ 49 gemachten Annahme
fest, daß für unsere gebrochene Extremale P PoP2 die Bedingungen
0+o + O (12)
und
sin (,0 - 00) + 0 (23)
erfüllt sind.
a) Konstruktion eines Feldes von gebrochenen Extremalen:2)
Wir betrachten eine beliebige Schar von gebrochenen Extremalen,
die sich zusammensetzt aus der Schar (8) und der dazu komplementären Schar (15), und bezeichnen wieder mit Q(t = r) und Q"(t = r")
ihre beiden Brennpunkte auf eo, resp. eo. Wir nehmen an, es sei
Po< Q< Po, Po < -<Po,
und3) der Punkt P1 liege zwischen Q und Po, der Punkt P2 zwischen
PO und Q". Dann gelten nach der Definition der Punkte Q, Q" für
die Funktionaldeterminanten der beiden Scharen die Ungleichungen:
1) Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 30, 31 am Ende von Kap. IX.
2) Nach CARATHEODORY, Dissertation, ~ 6 und Mathematische Annalen,
Bd. LXII (1906) p. 474.
3) Vgl. p. 383.
B o 1 z a, Variationsrechnung. 25