Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 48. Die Weierstraß-Erdmann'sche Eckenbedingung. 371
sie eine reelle Doppeltangente, parallel der 7-Achse; dieselbe berührt die Indikatrix
in den Punkten 0 = + (, wo ß durch die Gleichung gegeben ist:
cos = —
Hieraus folgt nach Zusatz III für diskontinuierliche,
Lösungen das Resultat:
In denjenigen Teilen der x, y-Ebene, in welchen:
a (x, y) > 2, können keine Ecken von diskontinuierlichen -
Lösungen liegen. Dagegen ist jeder Punkt des durch -
die Ungleichungen: 1 < a (x, y) < 2 definierten Bereiches Ecke einer gebrochenen Extremalen. Die beiden
zugehörigen Richtungen 0, 0 haben die Amplitulden + Pß Fig. 72.
Für die Funktion F, findet man nach einfacher Rechnung, bei welcher es
bequem ist, von den Formeln von ~ 32, c) Gebrauch zu machen,
iF (x, y, cos 0, sin 0) =a + 3 a cos 0 + 2
(a + cos 0)3
Die Funktion F1 verschwindet mit Zeichenwechsel für 0 =-+, wo ac
definiert ist durch die Gleichung
a2 + 2
COS a...
3a
In dem speziellen Fall, wo a eine Konstante ist, sind die Extremalen gerade
Linien. Ist insbesondere 1 <a < 2, so ist jeder Punkt der Ebene Ecke einer
gebrochenen Extremalen.
Ist der Punkt P1 beliebig gegeben, so fillen diejenigen Lagen des Punktes
P., welche mit P1 durch eine gebrochene Extremale mit einer Ecke verbunden
werden können, das Innere des (spitzen)
Winkels aus, welcher von zwei von P1 aus- o
gehenden Halbstrahlen von den Amplituden ß
und - ß gebildet wird. Und zwar gibt es
nach jedem solchen Punkt P2 allemal zwei 9
gebrochene Extremalen P, Po P2 und PP. \P
(siehe Fig. 73). Es sind dies gerade die — )
jenigen Lagen des Punktes P., nach welchen
sich keine kontinuierliche starke Lösung
ziehen lißt. Dagegen lassen sich von P1
nach jedem Punkt _P in dem angegebenen Fig. 73.
Winkelraum unendlich viele gebrochene Extremalen mit mehr als einer Ecke ziehen, nämlich gebrochene Linien, welche sich
aus Stiicken zusammensetzen, die abwechselnd die Amplituden ( und - ( haben. 1)
-) Hierzu weiter die Übungsaufgaben Nr. 24-29 am Ende von Kap. IX.