Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

368 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
Trotz der Diskontinuität in der Fortschreitungsrichtung müssen
also die Funktionen F,, Fy in jeder Ecke stetig bleiben.
Wir nennen eine Kurve, welche aus zwei Extremalenbogen P1Po
und Po-P2 zusammengesetzt ist und in PO eine Ecke besitzt, in welcher
die Weierstraß'sche Eckenbedingung (2) erfüllt ist, eine gebrochene
Extremale.
Da die Funktionen Fx, Fy, in x', y' positiv homogen von der
Dimension 0 sind, so lassen sich die Gleichungen (2) auch schreiben:
Fx (cyo 2,po, qo) -Fx (vo yo, _on q); (2 a)
F y,(Xo, YoPo0 qo) = Fy,(XO, yo, Po, qo),
wobei
Po o= cos 0 o qo sin 0,
P = cos0o, qo = sin 00.
c) Zusätze und Beispiele:
Die Eckenbedingung läßt sich auch mittels der 8-Funktion ausdrücken ).
Es ist nämlich nach der Definition der 8-Funktion
8(x, y; cos 0, sin 0; cos 0, sin ) = cos (Fx, - Fx) + sin (Fu, - Fy),
und hieraus berechnet man leicht
a 8 (,y; cos0, sin0;cos 0,sin 0) _ sin 0 -Fx) cos 0 ( -- F,)
ao
Daraus folgt, daß die Eckenbedingung (2 a) mit den beiden Gleichungen
(xo, yo; cos 0, sin0o; cos 0, sin 0) =0,
a 8 (Xo, Yo; cos 0, sin 0o; cos 0o, sin0) 3)
äquivalent ist. =00
Andererseits ist aber auch
8(Xo,yo; cos00, sin00; cOS 0, sin0o) = 0, (4)
und aus (3x) und (4) folgt rückwärts (2 a), vorausgesetzt, daß
- - 00 O (mod r). (5)
^~~2 Du~ ~Aus der Symmetrie der Gleichungen (2 a) in
2 bezug auf 00 und 0o folgt: Schneiden sich zwei
kontinuierliche Extremalen P, PO P2 und P, PO P2
im Punkt Po derart, daß für ihre beiden Tangentenrichtungen 0O und 0O im Schnittpunkt die
Eckenbedingung (2 a) erfüllt ist, so ist sowohl
1 Fig. 70. 1 Po PoP alsP Po P2 eine mögliche2) diskontinuierliche Lösung.
1) Vgl. CARnTHEODORY, Dissertation, p. 8.
2) Soweit es sich eben um die Eckenbedingung handelt.