Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

362 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
Im Fall A) kann man dies stets erreichen, indem man das Zeichen
von E gleich dem Zeichen von C wählt.
Im Fall B,) ist die Bedingung sowohl für positives als für negatives E erfüllt.
Dagegen ist es im Fall B2) nicht möglich, das Zeichen von E in
der angegebenen Weise zu bestimmen.
In den Fällen A) und B,) können wir daher in jeder Umgebung
des Bogens 0o zulässige Variationen angeben, für welche A J-0.
Es findet in diesen Fällen also sicher kein eigentliches') Minimum
statt. Es findet aber auch kein uneigentliches Minimum statt.
Denn die Enveloppe; kann selbst nie eine Extremale sein2), da sich
sonst durch den Punkt a von 3 in der Richtung der positiven Tangente zwei Extremalen ziehen ließen, nämlich die Extremale (S und
außerdem die Enveloppe 3 selbst. Dies ist aber nach den Cauchy'schen
Existenzsätzen (~ 27, a)) nicht möglich, da nach unsern Voraussetzungen
(vgl. ~ 44, a)) entlang der Enveloppe g:
51 (t, a) + o.
Daher können wir die beiden Punkte P4, P'' durch eine zulässige
Kurve P4P5P1' verbinden, welche für das Integral J einen kleineren
Wert liefert, als der Bogen PP'P' von ~. Es ist also möglich, durch
eine zulässige Variation AJ negativ zu machen, und daher liefert der
Bogen PPi' von (0, und daher a fortiori auch der Bogen 0 selbst,
kein Minimum.
Wenn der Fall II vorliegt, so kann man unmittelbar den Zusatz II (resp. III) zum Transversalensatz (~ 44, b)) anwenden. Darnach
hat man für jede benachbarte Extremale Ha der Schar (4) (siehe Fig. 67)
AJ= J-a(P3sP'1)- Jo(P1P/1') = 0, (8
woraus hervorgeht, daß der Bogen 0o sicher kein eigentliches Minimum
für das Integral J liefern kann. Er kann aber auch kein uneigentliches Minimum liefern, wenn t' < t,. Denn da 9~ (t', a) + 0, so folgt
aus dem Cauchy'schen Existenztheorem, daß die beiden Extremalen
e und ~o sich im Punkt Pt' nicht berühren können. Die aus dem.
1) Vgl. ~ 3, b).
2) Vgl. DARBOUX, Theorie des surfaces, Bd. III, Nr. 622, und ZERMELO, Dissertation, p. 96. Man kann die fragliche Behauptung auch direkt beweisen, indem
man in die linke Seite der Euler'schen Differentialgleichung (I) die Funktionen
X(r), y(r) einsetzt. Man findet in der Bezeichnung von ~ 26, a)
m T(i, y; ', y';, y" ) i= s (t, a) A (t, a),
und dieser Ausdruck ist für unendlich kleine Werte von X von Null verschieden.