Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 47. Folgerungen aus dem Enveloppensatz. 359
die wegen t(ao) = t; durch den Punkt P7 geht, ist dann die Enveloppel) der Extremalenschar (4).
Denn da
dSX dt, =(a d y dt t=t(a)
da da da tdca + t a
so folgt
td- S t dc a = (t (a),a) = 0. (73)
Dies zeigt, - zunächst abgesehen von den Punkten, in denen x'
und y' gleichzeitig verschwinden -, daß die Kurve 3 im Punkt a = a'
die Extremale (a, der Schar (4) berührt, und daher ist i in der Tat
die Enveloppe der Schar (4).
Für die weitere Diskussion unterscheiden wir jetzt zunächst zwei
Hauptfälle:
Fall 1: Die Enveloppe degeneriert nicht in einen Punkt,
d. h. die Funktionen (a), y(a) reduzieren sich nicht beide auf Konstante. Wir wollen dann voraussetzen2), daß die Funktionen x(a),
( (a) in der Umgebung von a = ac von der Klasse C(r) sind, und daß
für a = ao ihre Ableitungen bis zur r - ten Ordnung verschwinden,
daß aber t(5)(ao) und (r)(ao) nicht beide Null sind. Dann erhalten
wir nach dem Taylor'schen Satz:
da (a _ ) (A- +Ä ), d = (a- a)-1(B+ ); (74)
(acj~-= (~ - a")r - '(A + a)2- - a.oy
dabei ist ( () B ()(o)
Ä -- 1)!' (r —1)!
während a und ß Funktionen von a sind, welche mit a - ao unendlich
klein werden. Durch Einsetzen in (73) folgt hieraus
A = CGp,(tl, a), B= C= (t', af), (75)
wobei C ein Proportionalitätsfaktor ist, der endlich und von Null
verschieden ist, da weder A und B noch (pt(t', a,) und pt(t,', C) gleichzeitig verschwinden können.
Ist r > 1, so hat die Enveloppe im Punkt P'' einen singulären
Punkt rter Ordnung; aber auch in diesem Fall besitzt sie eine be1) Über die Theorie der Enveloppen vgl. Encyclopädie, III D, p. 44, insbesondere die in Fußnote 117 gegebenen Literaturangaben; ferner SCHEFFERS,
Theorie der Kurven, p. 55; vgl. auch oben ~ 29, c).
2) Dies wird stets der Fall sein, wenn die Funktionen (p(t, a), p (t, a) von
der Klasse C(r+1) sind, und dies darf nach ~ 24, a) Zusatz I angenommen werden, wenn die Funktion F(x, y, x', y') von der Klasse C( + 3) ist.