Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 5. Die Euler'sche Differentialgleichung. 23
x2 x2
xi Xi
+ C(, o'), d X +...,
XX
wobei in W eierstraß'scher Bezeichnungsweise (eo, o)'), eine homogene Funktion
nter Dimension von eo, o' bedeutet.
Wählt man dann wieder fir co eine Funktion von der speziellen Form (19)
so geht diese Reihe in eine nach Potenzen von s fortschreitende Reihe über,
auf die man dann das auf p. 11, Fußnote 2) erwähnte Lemma anzuwenden hat.
Von den drei angeführten Methoden liefert unzweifelhaft die erste, den
einfachsten strengen Beweis für die beiden Bedingungen (20). Man hat sogar
lange geglaubt, daß diese Methode das ganze Problem der Variationsrechnung
auf ein Problem der Theorie der gewöhnlichen Maxima und Minima zurückführt.
Dem ist aber nicht so; denn wie wir später sehen werden, liefert die Methode
nur notwendige Bedingungen, geniigt aber nicht einmal für ein sogenanntes
schwachesl) Extremum zur Herleitung hinreichender Bedingungen, während
die auf die Taylor'sche Formel basierte Methode, obgleich weniger elegant,
wenigstens für ein schwaches Extremum hinreichende Bedingungen liefert.
~ 5. Die Euler'sche Differentialgleichung.
Wir gehen jetzt dazu über, aus der Bedingung dJ= 0 weitere
Folgerungen zu ziehen.
a) Die Lagrange'sche partielle Integration:
Zu diesem Zweck pflegt man nach dem Vorgang von LAGRANGE2)
das zweite Glied in dem Ausdruck für dJ durch partielle Integration
umzuformen und erhält so:
J= E i[]y> 2+ j1/i(t4 dXYf d}' (25)
wobei von der Bezeichnung
[E(x)- (X)- ^(X) (26)
Gebrauch gemacht ist.
Da X für x = x1 und x = x2 verschwindet, so ist das vom Integralzeichen freie Glied gleich Null, und die Bedingung 6J- 0 reduziert sich auf
) Vgl. ~ 15, b).
2) Zuerst in dem bereits oben erwähnten Brief an EULER vom 12. August
1755. ((Eivres de LAGRANGE, Bd. XIV, p. 141).