Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

356 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
d) Der Osgood'sche Satz ) für den Fall eines variablen Endpunktes:
Aus den Resultaten des letzten Absatzes ergibt sich ein einfacher Beweis
des Osgood'schen Satzes für den Fall eines variabeln Endpunktes. Wir gehen
dazu von der Gleichung (65) aus. Führen wir statt des beliebigen Parameters r
den Bogen s der Bildkurve e' ein und bezeichnen mit 0' den Tangentenwinkel
der Kurve g' im Punkt üu, v, so können wir unter Benutzung der Gleichung (123)
von ~ 30 die Gleichung (65) auch schreiben:
62
AJ (,; cos 0, sin 0; cos 0 si n'; o, inO)ds. (66)
81i
Wir setzen jetzt voraus, daß für den Bogen (o die Weierstraß'sche Bedingung (IV') erfüllt ist, was wegen (44) die analoge Ungleichung für den Bogen
o in der u, v-Ebene zur Folge hat. Führen wir nun genau wie in ~ 32, Gleichung (158), die Funktion ~g ein, so können wir wie dort schließen, daß die die
Ausdehnung des Feldes eo, oder ausführlicher2) ci,k bestimmenden Größen h, k
sich so klein wählen lassen, daß die Funktion
(utt, v; cos 0', sin 0'; cos 0', sin 0')
in dem ganzen Bereich
(u, v) in 9l, 0o<0'<2r
positiv ist und daher einen positiven Minimalwert m erreicht. Da nun nach der
Definition von $8 für alle Werte von 0'
'(U, v; cos0', sin0'; cos ',sin ')=-(1-cos(O'-0 ')) $ (ü,; cosO',sin ';cos ',sin0'),
und da überdies 0'= 0 oder rt, so folgt aus (66) nach dem Mittelwertsatz
82
ddüAJ>m (lT cos0')ds,
oder, da cos 0' -- i
J> m[L F (du - yi)],
wenn L die Länge des Bogens (' von Pb bis P' bedeutet.
Es sei jetzt 1 eine beliebige positive Größe kleiner als k, und es werde
vorausgesetzt, daß die Kurve d in der x, y-Ebene durch einen Punkt PS einer
der beiden Extremalen: a = a0 + 1 der Schar (4) hindurchgeht. Die Bildkurve
ist (in dem Sinn, daß jede Lösung des einen Problems zugleich eine Lösung des
andern ist). Man kann dann stets die Funktion (x, y) so wählen, daß die Voraussetzung (6) für das neue Problem erfüllt ist, selbst-wenn dies für das ursprüngliche
nicht der Fall sein sollte; man braucht nur
~ (x, y) = M- [t(x, y) - (a(x, y))]
zu setzen, wo /M eine hinreichend große Konstante ist; vgl. BOLZA, Lectures, ~ 37, c).
1) Vgl. ~ 34 und für den hier gegebenen Beweis BOLZA, Transactions of
the American Mathematical Society, Bd. II (1901) p. 422.
2) Vgl. wegen der Bezeichnung ~ 31, a).