Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 44. Der Transversalensatz und der verallgemeinerte Enveloppensatz. 341
Dies bedarf jedoch einer genaueren Formulierung:
Der Punkt r der Kurve ~S fällt mit dem Punkte t = t(r) der
Extremalen a =a(r) der Schar (4) zusammen. Insbesondere sei:
a(o) = a, t(ro) == to. Vir nehmen an, daß to' > to und
d& 2 dg 2Y" r-t=r
(dZ+ ( d) +0.
Dann läßt sich ein den Wert r0 enthaltendes Intervall [r'T"] angeben,
in welchem gleichzeitig die beiden Ungleichungen
t(r)- Xo(a()) > 0,') (17)
d -;7T 2+(dg) ~ (18)
gelten. (d (d (8)
Wir setzen voraus, daß wenigstens für jedes r in [r',"] die
Kurve &1 die Extremale a = a (r) in dem oben näher charakterisierten
gemeinsamen Punkt berührt, so daß also
in ldVz m4t dJ (19)
wo m ein von r abhängiger Proportionalitätsfaktor ist. Aus (18)
und aus der für den ganzen Bereich (5) vorausgesetzten Ungleichung:,p + -2 + 0 folgt, daß die Funktion m(r) in [r'r"] stetig und von
Null verschieden ist. Sie kann also ihr Zeichen nicht wechseln.
Wir dürfen2) stets ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraussetzen, daß
setzen, daß nm() > 0 in ['r "],
d. h. daß die positiven Tangentenrichtungen der beiden Kurven in ihrem
Beriührungspunkte zusammenfallen.
Nunmehr folgt aber aus (19) auf Grund der Homogeneitätsrelationen (13) von ~ 25,(t(r), a()) = F ( d,, d,),:%.(t(),( cz(r)) - F y,~ dd, e, d ).
Daher nimmt die Gleichung (13) unter Benutzung der Homogeneitätsrelation (10) von ~ 25 die Form an
du ( (), a ()) _ F 7, d, d(20)
dr d~v^ ^ dr
1) D. h. der Bogen [r'v"] der Kurve k, ist das Bild einer Kurve in der
t, a-Ebene, welche ganz in dem unter a) definierten Bereich cPa liegt.
2) Sollte m < 0 sein, so können wir durch Umkehrung des positiven Sinnes
auf der Kurve k. vermittels der Transformation r=- bewirken, daß für die
so transformierte Kurve m positiv ist.