Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 44. Der Transversalensatz und der verallgemeinerte Enveloppensatz. 339
und daher nach (13), wobei im gegenwärtigen Fall a == r,
cldu
== 0, also u(;1(a), a) = konst. (15)
Die Funktion u(t, a) ist also entlang jeder Transversalen der Schar
konstant.
Wir wollen nun annehmen, es sei: Z (a) > Xo (a0), und auch der
Anfangswert Zi(a,) sei in dem Intervall [T( T2] enthalten. Alsdann
existiert nach der Definition der Größe d (~ 44, a)) auch die Lösung xZ (a)
im ganzen Intervall [a - d, a - + d], ist in diesem Intervall von der
Klasse C' und genügt in demselben der Ungleichung: Xi (a) > o(a)Letzteres folgt aus (7) auf Grund des Satzes von ~ 23, c).
Hieraus folgt aber nach a), daß die Funktion u(XZ (a), a) gleich ist
dem Integral J, genommen entlang der Extremalen ~a der Schar (4),
von deren Schnittpunkt { o (a), a } mit der Transversalen üo bis zum
Schnittpunkt {()(a), a} mit der Transversalen k. Somit haben wir
folgenden, von KNESER herrührenden Fundamentalsatzi) bewiesen:
Zwei Transversalen derselben Extremalenschar schneiden auf den
verschiedenen Extremalen der Schar Bogen aus, fiir welche das Integral J denselben konstanten Wert besitzt.
Oder ausführlicher: Sind e', (, 9'
zwei Extremalen der Schar (4) und
P', P", resp. Q', 9 ihre wie oben
bestimmten Schnittpunkte mit R,
resp. 9, so ist ~
J,(P'gQ') = J (P" (16)". 1\ Q"
Umgekehrt: Schneidet man auf
den verschiedenen Extremalen der Schar p Sti
von ihren Schnittpunkten mit einer \ Fig. 56.
Transversalen üo aus, nach derjenigen
Seite zu, auf welcher t wächst, Bogen ab, welche für das Integral J
denselben konstanten Wert liefern, so liegen die Endpunkte dieser Bogen
wieder auf einer Transversalen der Schar.
du
Denn ist: u(t, a) = konst. entlang der Kurve ~, so folgt == 0,
also ist entlang S1 die Gleichung (14) erfüllt, welche ausdrückt, daß
A eine Transversale der Schar ist.
Da für den speziellen Fall der geodätischen Linien die Transversalen
~) KNESER, Lehrbuch, ~ 15. Der Satz ist bereits in ~ 20, a) und ~ 31, c),
Ende, bewiesen worden unter der Voraussetzung, daß die Extremalenschar (4)
ein Feld bildet. Diese Voraussetzung mußte hier fallen gelassen werden, um
auch den Fall einzubegreifen, wo die Transversalen sich auf Punkte zusammenziehen.