Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 44. Der Transversalensatz und der verallgemeinerte Enveloppensatz. 337
der x,y-Ebene, die wir entsprechend "die Kurve { t = t(r), a = a() )}"
nennen, und die übrigens, wie in ~ 31, b), auch in einen Punkt
degenerieren kann,
Aber die Umkehrung ist jetzt nicht mehr richtig; daher werden
wir jetzt nicht mehr unmittelbar von einem Punkt oder einer Kurve
der x, y-Ebene ausgehen, sondern immer zuerst von einem Punkt oder
einer Kurve in der t, a-Ebene und dann deren Bild in der x,y-Ebene
konstruieren. Gerade dies soll durch die obige Bezeichnung ausgedrückt werden.
Abgesehen hiervon verfahren wir nun zunächst ganz wie in ~ 31, b).
Wir konstruieren eine Transversale { t = -x(a) } der Schar (4) durch
einen Punkt P{t0,a,} von1) (0, wobei:
indem wir die Funktion: t == zo() durch die Differentialgleichung
d a + ix', + gI4 = O (8)
und die Anfangsbedingung: Zo (ao) = to bestimmen, was nach ~ 23, a)
wegen der Voraussetzung (6) stets möglich ist. Sind dann Ti, T' zwei
beliebige den Ungleichungen
T, < 1 < t~l t2 <17 <T<
genügende Größen, und wird to auf das Intervall T] to < T2 beschränkt, so läßt sich nach ~ 23, a), Zusatz, eine von to unabhängige
positive Größe d < d' bestimmen, derart, daß die Lösung X (a) in
dem Intervall [ao - d, aO + d] existiert, von der Klasse C' ist und der
Ungleichung: T < X (a) < T2 genügt.
Indem wir unter (t, a) irgend einen Punkt des Bereiches
T, t T2 2 a-ao\ d (9)
verstehen, definieren wir, wie in ~ 31, b), die Funktion u(t,a) durch
das bestimmte Integral t
u(t, a) -- j (t, a)dt, (10)
t~
wobei wieder zur Abkürzung: Xo(a) = t gesetzt ist.
Die Kurve t (a)
in der t, a-Ebene zerlegt das Rechteck (9) in zwei getrennte Teile;
in dem einen ist: t> XoX(a), im andern t XO(a). Den ersten der
beiden Teile bezeichnen wir mit ~.
1) Vgl. wegen der Bezeichnung ~ 27, c).