Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

324 Sechstes TKpitel. Der Fall variabler Endpunkte.
Beispiel XVIII: Von einer gegebenen Kurve ü nach einem gegebenen
Punkt P2, die kürzeste Kurve zu ziehen.1)
Hier ist
F= 1/x + y2.
Die Extremalen sind Gerade, da die Differentialgleichung (23 b) von ~ 26 hier
die Form annimmt
- 0.
Die Bedingungen (II') und (III') sind stets erfüllt.
Die Transversalitätsbedingung lautet
d. h. die Gerade Eo muß im Punkt P auf
der gegebenen Kurve k senkrecht stehen. Die
~~~/ ~ Extremalenschar, welche von der Kurve S
(~: / transversal geschnitten wird, ist hier also das
Normalensystem der Kurve k; ihre Enve\ 2 loppe ist die Evolute i der Kurve A. Der
" Brennpunkt Po' ist daher der Krümmungsmittelpunkt der Kurve k im Punkt P,, und
\ wir haben daher das Resultat:2)
Füir ein Minimum ist notwendig, daß
Fig. 50. der Punkt P, entweder auf der entgegengesetzten Seite der Kurve t liegt, wie der
Krüiilmmungsmittelpunkt P"' oder aber, falls beide Punkte auf derselben Seite von k
liegen, daß P1' nicht zwischen P1 uend P, liegt.
~ 41. Hinreichende Bedingungen für das Problem mit einem
variabeln Endpunkt.
Wir setzen jetzt voraus, daß der Extremalenbogen eo keine
Doppelpunkte besitzt und die Bedingungen3) (II') und (IV') für feste
Endpunkte erfüllt; ferner daß er im Punkt P1 von der gegebenen
Kurve. transversal geschnitten wird und die Ungleichung (48) erfüllt; endlich daß er den Brennpunkt Pi' nicht enthält, d. h. also daß
t_ < t'. (58)
an den Fall, wo die Extremalen gerade Linien sind, die man als Lichtstrahlen
interpretiert. Die Brennpunktsbedingung mit dieser Definition des Brennpunktes
rührt von KNESER her (loc. cit.); wir werden seinen Beweis in ~ 47 geben.
1) Da für das Längenintegral: J1 == Js (vgl. ~ 25, b)), so ist die Aufgabe
äquivalent mit der Aufgabe: Von einem gegebenen Punkt nach einer gegebenen
Kurve die kürzeste Kurve zu ziehen.
2) Schon von ERDMANN aus der zweiten Variation abgeleitet. Zeitschrift
für Mathematik und Physik, Bd. XXIII (1878) p. 374.
8) Vgl. ~ 32, b).