Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 40. Geometrische Bedeutung des Brennpunktes. 323
Diese Gleichung, welche eine Identität in a ist, differentiieren wir
jetzt nach a. In dem zunächst sich ergebenden Resultat drücke man
die zweiten Ableitungen von F mittels der Gleichungen (12a) und
(85) des fünften Kapitels durch die Funktionen F", L, M, N aus und
beachte, daß nach (54)
Y(a) =.a (ti a), * ~(a)= 4)a(ti1 a)
und daher,
p,(t". )Y' (a) - )(t,)x'(a) =/ A(t, a),
wenn A(t, a) wieder die Funktionaldeterminante der Schar (52) bedeutet.
Setzt man schließlich a == a, so erhält man die Relation:
A, A (t1, ao) + B1 A (t1, ao) = 0, (56)
wenn A(t, a) die Funktionaldeteriinante der Schar (52) bedeutet.
Nun ist aber nach ~ 29, b) die Funktion A (t, a) ein Integral der
Jacobi'schen Differentialgleichung für die Extremale o,; und da
A(t, ao) der Anfangsbedingung (56) genügt, so folgt nach der am
Ende von ~ 39, a) gemachten Bemerkung, daß
A(t, o)= CH(t, t), (57)
wo C eine von Null verschiedene Konstante ist, da nach (53), (54)
und (38) a ) += 0xt yx = O. (57a)
Die Funktion H(t, tl) unterscheidet sich also nur um einen konstanten Faktor von der Funktionaldeterminante A(t, ao) derjenigen
Extremalenschar,
welche von der gegebenen Kurve
transversal geschnitten wird.
Daraus folgt 1. -- / 2
aber nach ~ 29, c)
der Satz:')
Der Brennpunkt P' der
Kurve,- auf der ig, 49.
Extremalen ~o ist
derjenige Punkt, in welchema die Extremale eo zum ersten Mal - von P,
nach P1 zu gerechnet - die Enveloppe g der von der Kurve S transversal geschnittenen Extremalenschar berüihrt.2)
1) Vgl. BLIss, loc. cit. p. 140.
2) Diese Eigenschaft dient bei KNESER (Lehrbuch ~ 24) als Definition des
Brennpunktes. Hierdurch findet zugleich der Name seine Erklärung; man denke