Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

322 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
Dabei liefert der Wert s = 0 den Schnittpunkt P3 mit der Kurve S,
und für a = ao reduzieren sich die Gleichungen (50) auf die Gleichungen
der Extremalen eo in der Normalform
eo: x = 3x(s; x,,1), y,, = ( x,i, a).- (51)
Endlich folgt aus den Gleichungen (51b) von ~ 27, daß die
Funktionaldeterminante der beiden Funktionen auf der rechten Seite
von (50) nach s und a für s= 0 den Wert: cy'os0(a) - sin0(a)
hat, welcher für kleine Werte von a wegen unserer Voraussetzung (38)
von Null verschieden ist.
Wir formulieren das Resultat als selbständigen Satz:1)
Wenn die Extremale eo im Punkt PP von der Kurve 9 transversal geschnitten, aber nicht berührt wird, so läßt sich durch jeden
Punkt P3 von S in der Nähe von Pt eine und nur eine Extremale
konstruieren, welche im Punkt P. von 9 transversal geschnitten wird,
und deren Tangentenwinkel im Punkt P, nur unendlich wenig von demjenigen von eo im PunJkt P1 verschieden ist.
Geht die Extremale eo aus der ursprünglich gegebenen Darstellung (1) in die Normalform (51) über durch die Parametertransformation (14), so führt dieselbe Parametertransformation die
Gleichungen (50) über in eine neue Darstellung der Extremalen ar: x = ( (t, a), y = (t, a), (52)
welche für a =-a in die gegebene Darstellung (1) der Extremalen eo
übergeht:,(t, a) = (t1), (t, ao)=? (t), (53)
und bei welcher der Punkt P3 der Extremalen Sa dem von a unabhängigen Wert t = t, entspricht:
p (t1, a) = (a), (t1, a) = (a). (54)
Überdies haben die Funktionen gp, ~ die in ~ 27, d) unter A) bis D)
aufgezählten Eigenschaften.
Variiert man a, so stellen die Gleichungen (50) oder (52) eine
die Extremale (o enthaltende Schar von Extremalen dar, welche sämtlich von der gegebenen Kurve ü transversal geschnitten werden.
Die Transversalität der beiden Kurven (a und S im Punkt PS
drückt sich aus durch die Gleichung
x'(a)Fx + y'(a)Fy = 0, (55)
wobei die Argumente von F, und Fy, sind
x = ( a), = ((a), x' = Cp(t1, a), y' = (t, a).
1) Derselbe rührt von KNESER her, vgl. Lehrbuch ~ 30.