Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 39. Die Brennpunktsbedingung. 317
In dem Ausnahmefall, wo: xly — y x- = 0-, wo also die Extremale eo die Kurve A im Punkt P1 berührt, reduziert sich die Bedingung (33i) auf: A, < 0, also eine Bedingung, die von der Lage
des Punktes P2 auf der Extremalenl) eo unabhängig ist.
Wir lassen diesen Ausnahmefall in der Folge beiseite und setzen
voraus, daß x - yx; + O, (38)
d. h. daß die Kurven (o und k sich im Punkt Pr nicht berühren.
In diesem Fall hängt J" (a) von der Lage des Punktes P2 ab. Wir
lassen daher den Punkt P2 die Extremale vom Punkt P1 bis zu dem
zu P, konjugierten Punkt Pr durchlaufen und untersuchen, wie sich
dabei das Zeichen von J"(a0) ändert.
Wegen der Voraussetzungen (II') und (38) ist B1 > 0. Ferner
folgt aus (23) und (26), daß
dz) (t) F1 (t1)
dt F (t) w2 (t) (39)
also stets positiv. Überdies ist nach (21) und (22)
z (t1 + ~) + c; dagegen z (t[ - 0) = -, (40)
da nach dem Sturm'schen Satz von ~ 11, c) die Funktion Go1(t) in
t, und ti entgegengesetztes Zeichen hat.
Während also der Punkt PS die Extremale oy vom Punkt P1
bis zum Punkt P[ durchläuft, nimmt J"(ao) beständig ab von + oo
bis - oo, passiert also genau einmal durch den Wert 0. Denjenigen
Wert von t, für welchen dies eintritt, bezeichnen wir mit ti'. Dann
ist also > 0, wenn t, < t',
JX"(o) =0, wenn t2, t1 (41)
< 0, wenn t> t".
Für ein Minimum2) ist also nötig, daß
t, < t'. (42)
Derjenige Punkt P' der Extremalen o, welcher dem Parameter
t- t' entspricht, heißt nach KNESER3) aus später ersichtlichen Gründen der Brennpunkt der Kurve g' auf der Extremalen eo.
1) Vgl. wegen der Bezeichnung ~ 27, c).
2) Für spätere Anwendung (~ 42) beachte man, daß die Funktion J(a) im
Fall t > ti' für a=-ao ein Maximum besitzt.
3) Vgl. KNESER, Lehrbuch ~ 24; BLISS gebraucht statt dessen,critical point",
und diese Bezeichnung ist von ZERMELO und HAHN adoptiert worden (Encyclo_pädie, IIA, p. 630). Wenn kein konjugierter Punkt PL auf der Extremalen H*
existiert, so braucht auch nicht notwendig ein Brennpunkt Pf' zu existieren.
Im letzteren Fall ist J"(ao)> 0 auf der ganzen Extremalen U. Wir schreiben,auch in diesem Fall: t2 < t'.
B o z a, Variationsrechnung. 21