Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

310 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
Darin bedeuten p1 q1, resp. p2, q2 die Richtungskosinus der positiven
Tangente der Extremalen ( im Pankt P1, resp. P2.
Wir werden die Formeln (18) die "allgemeinen Htamilton'schen
Formeln" nenenn, im Gegensatz zu den spezielleren Formeln (148)
des fünften Kapitels.
c) Die zweiten partiellen Ableitungen des Extremalenintegrals:1)
Um die zweiten partiellen Ableitungen des Extremalenintegrals
zu erhalten, haben wir die ersten partiellen Ableitungen der Tangentenwinkel 0, resp. 02 der Extremalen ~ in den Punkten Pl, resp. P2 nötig.
Die Ableitungen von 01 ergeben sich aus (11) nach den Regeln über
die Differentiation von impliziten Funktionen, und zwar findet man:
a o~1 tu (S2) a o_ v (S2)
1i Iu- (S2) ~Y61 W (s82) (19)
~0 1 1Oy' (s) ~ x'(S,)
o0_, _ _ =(s^ qx)
o x~ wo, (s.) aY2 w6 (s2)
Darin bedeuten in Übereinstimmung mit ~ 27, Gleichung (56):
)t- (S) = - s, (S)=s - (S), e - s,0=-,
und die Argumente der partiellen Ableitungen der Funktionen X, )
sind s-s 1 I, 1yl, 01
Um die partiellen Ableitungen von 02 zu erhalten, bemerken wir,
daß die Extremale Q sich auch schreiben läßt
x =?(S - S2; X2, y2, 02) = x(S), y = (S - S2; x y2 0) = y0(S);
daher genügen die beiden Funktionen s, 02 von x, y1, x., y2 auch
den beiden Gleichungen
x = (s1 - S2; 2 y, 02 ), i = y )((s- S2; X2, Y 2 02).
Aus diesen erhält man dann analog:
0~ 0 y (81) S o~ x' (s1)
ax7 = 2V (S1), Yi =2 (S*)
__= _ u(s1) ^ 9 _____
0 2 2is (S1) ) 02 v2 (S, )
x 3 (ßsi) ' ay. w2 (s21)
Darin bedeuten u2, v2, w2 dieselben Determinanten wie oben, jedoch
iit den Argumenten
S -S, X2, Y22 0.
1) Die folgenden Entwicklungen, die übrigens erst in ~ 39 zur Anwendung
kommen, sind der Dissertation von A. DRESDEN entnommen,,The second partial
derivatives of Hamilton's principal function and their applications in the calculus
of variations, Transactions of the American Mathematical Society,
Bd. IX (1908), p. 476.