Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 37. Das Extremalenintegral. 307
schreiben und ebenso den gesuchten in der Form
': x =X(s-s; x,y~,O)-x(s), y —(s-st; xy,8,)0y(s), (0)
sr < s < s2.
Dabei ist s1 eine beliebige Konstante, für die man z. B. Null wählen
kann.
Da die Kurve (10) für s = s2 durch den Punkt P2 gehen soll,
so haben wir zur Bestimmung der beiden unbekannten Größen s, 06
die beiden Gleichungen
X(s2 - si; x,y, 01) - x2, (s2 -- s1; x1, y, 60) -2= (1 )
Man überzeugt sich leicht, daß die Bedingungen für die Anwendbarkeit
des Satzes über implizite Funktionen erfüllt sind, wofern die Funktionaldeterminante
(l; al, bl, a 1), 2s(l1; al, b, a1)
X|e(1; ia,^a) 2 2)0(,6; a, blal)
Diese Determinante ist aber nach ~ 27, d) nichts anderes als die
dort mit A bezeichnete Funktionaldeterminante der Extremalenschar
durch den Punkt AÄ, berechnet für den Punkt A2. Die Ungleichung
(12) drückt also aus, daß der Punkt A2 nicht zu A, (im weiteren
Sinne) konjugiert ist. Unter dieser Voraussetzung können wir also
die Gleichungen (11) im Sinne von ~ 22, e) in der Umgebung der Stelle
S2 =- + s1, x1 == a, y -J = b, x == a2, y2 = b2 eindeutig nach s, 01 auflösen und erhalten so den Satz:1)
Es sei A1A2 ein ganz im Innern des Bereiches 3R gelegener Extremalenbogen, dem entlang F, + 0, und es sei AS nicht zu AÄ (im
weiteredn Sinne) konjugiert. Werden dann die beiden Punkte PP, P2
hinreichend nahe bei A, resp. A2 genommen, so kann man von P1 nach
P2 stets eine eindeutig definierte Extremale ziehen.
Die durch Auflösung der Gleichungen (11) erhaltenen Werte
s2, 01 ergeben sich als Funktionen von x", x, x2 y2, welche in der
Umgebung der Stelle al, b6, a, bs von der Klasse C' sind, und an
dieser Stelle selbst sich auf 1 + s1, resp. c, reduzieren. Setzt man
den gefundenen Wert von 01 in (10) ein, so erhält man den Extremalenbogen P1 P2 dargestellt in der Form
X = X(s;x,y,x2,y2), y = Y(s;xi,y,x,y2), (13)
s_ < s< s2,.
1) WEIERSTRASS, Vorlesungen 1879; Weierstraß benutzt zum Beweis irgendein allgemeines Integral der Euler'schen Differentialgleichung; vgl. BOLZA, Leetures, p. 175, Fußnote.