Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 3. Definition des Maximums und Minimums eines bestimmten Integrals. 17
So müssen z. B. bei der Aufgabe, das Integral
j. fl- yd x
zu einem Minimum zu machen (Brachistochrone, vgl. ~ 26, b), die zulässigen
Kurven notwendig auf den durch die Ungleichung
y -2/ + >0
definierten Bereich beschränkt werden, weil sonst die Funktion f entweder unstetig oder imaginär werden würde.
Bei der Aufgabe der Rotationsfläche von kleinster Oberfläche, wo
J= f V+y'' dx,
muß man die zulässigen Kurven auf den Bereich
y>0
beschränken, weil nur dann das bestimmte Integral J die gewünschte geometrische Bedeutung besitzt.
Neben solchen ~natürlichen" Beschränkungen, die sich aus dem Problem
mit Notwendigkeit ergeben, kann man aber auch den zulässigen Kurven,künstlich" Beschränkungen auf einen gewissen Bereich auferlegen. So sind z. B. bei
der Aufgabe, die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten zu finden, wo
J=f- i+y^ dx,
die zulässigen Kurven keinerlei derartigen Beschränkung unterworfen, so daß
der Bereich fi die ganze x, y-Ebene umfaßt. Man kann aber auch die Aufgabe
dahin modifizieren, unter allen Kurven, welche in einem gewissen gegebenen
Bereich gelegen sind, die kürzeste Verbindungslinie zweier gegebener Punkte zu
finden (vgl. Kap. VIII); hier ist dann lR eben dieser vorgegebene Bereich.
b) Relatives Extremum eines bestimmten Integrals:
Ganz analog wie in der Theorie der gewöhnlichen Extrema läßt
sich nun auch die im vorhergehenden formulierte Aufgabe des absoluten Extremums eines bestimmten Integrals, (welche das eigentliche
Endziel der Variationsrechnung ist), auf diejenige des relativen Extremums zurückführen, bei welchem die gesuchte Kurve nur mit
sogenannten ~benachbarten" Kurven verglichen wird, und welches
folgendermaßen definiert wird: Eine zulässige Kurve (: y = y(x)
liefert ein relatives Minimum (Maximum) für das Integral J, wenn
eine positive Größe 9 existiert, derart, daß
o z, ariaionehug (14)
Bo1za, Variationsrechnung. 2