Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 34. Der Osgood'sche Satz. 283
in älJ verläuft, und es sei P3 ein Punkt von (, welcher nicht in Ltl
liegt. Alsdann gelten gleichzeitig die Ungleichungen (199), (199a)
und (200) und daraus folgt
J12 - 12 > E,
was zu beweisen war.
Zusatz: Der Satz gilt auch noch in etwas modifizierter Form,
wenn die beiden Bedingungen (196) in den beiden Endpunkten nicht
erfüllt sind. Der Bereich 2L muß dann so beschaffen sein, daß der
komplementäre Bereich e keinen Punkt mit der Fortsetzung des
Bogens (o über die beiden Punkte P, und P2 hinaus gemeinsam hat.')
b) Der Fall des Extremums "im Kleinen":
Für spätere Anwendungen möge auch noch die Modifikation des
Osgood'schen Satzes2) für den Fall eines Extremums "im Kleinen" hier Platz
finden:
Ist Ro ein beschränkter, abgeschlossener Bereich im Innern von Wt, und
ist das vorgelegte Variationsproblem regulär in Beziehung auf den Bereich o,
so läßt sich eine positive Größe r0 bestimmen, derart daß nicht nur je zwei
Punkte P1, P2 von Ro, deren Entfernung kleiner als ro ist, sich durch eine
kürzeste Extremale 12 verbinden lassen, sondern daß gleichzeitig für diese
Extremale auch noch der folgende Satz gilt:
Jeder Umgebung 2t des Extremalenbogens (2, welche ganz im Innern des
Kreises (P1, r0) liegt, läßt sich eine positive Größe s". zuordnen, derart daß fir
jede die beiden Punkte P1 und IP verbindende gewöhnliche ure iure, welche ganz
im Innern des Kreises (P", ro), aber nicht ganz in 2t liegt, die Ungleichung gilt
dJ2 - J12 r >.' (197 a)
B e w e i s: Nach ~ 21, a) und b) können wir zunächst eine geschlossene Umgebung
von 0o bestimmen, welche ganz im Innern von g liegt, und in Beziehung auf
welche das Problem ebenfalls noch regulär ist. Für diesen Bereich 90l be1) Hahn beweist dies, indem er auf der Fortsetzung von eo über Pl,
resp. P2, hinaus zwei Punkte P1', resp. P2', annimmt und dann statt der Extremalenscharen durch P, und P2 diejenigen durch Pl' und P2' betrachtet.
Ebenfalls ohne Benutzung der Voraussetzungen (196) und wieder in etwas
anderer Fassung werden wir den Satz in ~ 46 mit Hilfe der Kneser'schen
krummlinigen Koordinaten beweisen.
2) In der Hauptsache nach CARATHEODORY (Mathematische Annalen,
Bd. LXII (1906), p. 490), der den Satz für den allgemeineren Fall von gebrochenen
Extremalen beweist.