Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

282 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Ganz ebenso können wir nun ein zweites Feld eo um den Bogen
~o konstruieren, welches die analogen Eigenschaften in Beziehung
auf die Extremalenschar nach') dem Punkt P2 besitzt, d. h. von
jedem Punkt P3 von Wo läßt sich eine Feldextremale (32 nach dem
Punkt P2 ziehen und wenn (2 eine gewöhnliche ganz in SV verlaufende Kurve ist, die von P3 nach P2 gezogen ist, so ist
J32 > J321 (199 a)
Wir bezeichnen jetzt mit of irgend eine Umgebung des Bogens o,
welche gleichzeitig in u und g. enthalten ist. Ist dann P3 ein
Punkt im Innern von eo, so können wir beide Extremalen 1 ~ und
~32 ziehen. Wir betrachten nun die Differenz
(X3, y3) = J13 + J32 - 2
Dieselbe ist eine im Innern von ed eindeutig definierte und stetige
Funktion der Koordinaten x3, y, des Punktes P3. Sie verschwindet,
wenn der Punkt P8 auf dem Bogen (o liegt; in allen anderen Punkten
ist sie positiv, da der Bogen ~0 ein eigentliches starkes Minimum
für das Integral J liefert.
Nunmehr sei 9l irgend eine Umgebung von o, welche ganz im
Innern von o liegt (ohne mit of identisch zu sein), und es sei 9
diejenige Menge von Punkten. ~- -- -.- von of, welche nicht zu Lt
- 3 gehören, unter Hinzurech_..- ^ ~\~ ' \ nung ihrer Häufungspunkte.,/ / " /^ \ ß \ Die Menge? ist dann ab^/ / // ^ @B~ \J j x geschlossen und enthält
1 t keinen Punkt von ~o. Daher
\ V 1 - -6 > ~ X / besitzt die Funktion E (x3, y3)
\ \,/ / in k9 einen positiven Mini' -.~ - / malwert, den wir mit E
\ - -- -, bezeichnen, so daß also in 9:
- v __ -J1 3+J32-J12r9. (200)
Fig. 44. Endlich sei ~ irgend eine
gewöhnliche, von P, nach
P2 gezogene Kurve, welche ganz im Innern von eo aber nicht ganz
1) Vgl. ~ 33 a), Zusatz.