Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

276 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
art daß das Regularitätsintervall für jede, von einem beliebigen Punkt P1 von
Ato ausgehende Extremale (a das Intervall t l < h enthält.
Sodann zeigt man mittels des Satzes von ~ 21, b), daß sich zwei weitere,
von a, x, y1 unabhängige Größen k, <Z h, und 1o< k angeben lassen, derart daß
r(t, a; x, y1) >0
für
0 < t <ko; (X', y1) in ~o; -cx < a<+cxo,
und
rt(t,a; x, y,)>, V(, a; x,,y)>0 (181)
für
0<t<lo; (x1,y2) in ao; -ooQ<a<+oo.c
Ferner sei Ro das stets positive Minimum der Funktion r(lo, a; x, y1) in dem
Bereich
(xi, y) in Sl,; 0 < a < 2 r. (182)
Schließlich bestimmen wir nach ~ 21, a) und b) eine Umgebung [C] j, welche
im Innern von ~R enthalten ist, und in welcher das Problem auch noch regulär
ist. Dann ist Qo die kleinere der beiden Größen Ro, d.
Die kürzeste Extremale e" braucht selbst nicht ganz im Bereich R, zu
liegen. In dem speziellen Fall, wo sich eine positive Größe 6, <Qo angeben
läßt, derart daß für je zwei Punkte PI, Pi von 9t, deren Entfernung kleiner
als g, ist, die sie verbindende kürzeste Extremale,2 stets in tR enthalten ist,
sagen wir, der Bereich 9o sei,extremal-konvex."
Für spätere Anwendungen schließen wir hier noch einige weitere, die
gleichmäßige Konvergenz betreffende Folgerungen an:
Indem man die Stetigkeitssätze und den erweiterten Vorzeichensatz von
~ 21, b) auf die Funktion.t2 (t', aE) + O t2(t", a)
der fünf Variabeln t', t", a, xl, y, anwendet und von Gleichung (178) Gebrauch
macht, erhält man das Resultat, daß
r(t,a) 18
--- =l, (183)
t=o t
gleichmäßig') in Beziehung auf den Bereich (182), und daß sich zwei positive,
von a, x", y1 unabhängige Konstante g, und Go angeben lassen, derart daß
got<(t, a) Gt (184)
in dem Bereich
o0t< o, O<a<2x, (x, y,) in ot,
was sich auch so aussprechen läßt: Sind Pr, P, irgend zwei Punkte von o,
1) Vgl. A II 6.