Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 32. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 269
Bliss stellt sich nun die Aufgabe, das Integral J in dieser Form zu einem
Extremum zu machen, wobei er noch die Verallgemeinerung eintreten läßt, daß
die Funktion 3 in 0 nicht periodisch mit der Periode 2r, zu sein braucht.
Ersetzt man, wie in ~ 26, die Funktionen x, y durch x = x + e, y + e 1,
wobei 0 in 0 übergehen möge, so findet man durch Differentiation der Gleichungen
x y
cos 0 sin — _
/Ü2 + -y2 /2 +x 2
nach 8, daß
ao aa ae
6s $2 g+ y 2
Hiernach läßt sich dann die erste und zweite Variation des Integrals (163)
berechnen. Setzt man
t == sin 0 -- cos = ---
1i = --- W + 1~ I/x
de (164). =- sin 0 - vy cos 0 + cos+y sin 0 + d
Z = _,x sin 0 - y cos 0 - (\ls )
so erhält man im Fall fester Endpunkte
fJ —=,s Sds,
~ sJl[~3 u + ~ (d~)~] ds. 1(165)
-'J= S ( )]s..
Daraus ergibt sich dann unmittelbar die Euler'sche Differentialgleichung,
die Legendre'sche und die Jacobi'sche Bedingung für das Integral (163).
Man kann diese Resultate auch aus den Weierstraß'schen Formeln ableiten,
indem man von den Relationen zwischen den partiellen Ableitungen der Funktionen
F und: Gebrauch macht, die man durch Differentiation der Identität (162)
nach x, y, 0 erhält. Es ergeben sich dabei folgende Beziehungen:
F, (,, x, y')(/x + 2+y- = 2\ (s, Y, 0),
T(x, y, x', y x", y)-= %( y, 0, o, )~
x, y; ' y = ' (x, y, ') - (x, y, 0) cos ( -0) - (166)
- (x, y, )sin (0- 0),
F2 2+y 2\ = + a -dt s