Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

14 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
von der Klasse ', resp. C",... heißen, en nn f(x) in [ab] von
der Klasse C', resp. C"... ist.
Endlich sagen wir auch von einer Funktion von m Variabeln:
f(x,, x,..., x), sie sei in einem Bereich1) EL im Gebiet der Variabeln x,..., x, von der Klasse C (), wenn sie selbst samt
ihren partiellen Ableitungen bis zur nten Ordnung inklusive stetig
ist in2) KC.
a) Absolutes Extremum eines bestimmten Integrals:
Es sei jetzt einerseits eine Funktion f(x, y, y') der drei unabhängigen Variabeln x, y, y' gegeben, welche reell und von der
Klasse3) C'" ist in einem Bereich -j, welcher aus allen Punkten
(x, y, y') besteht, für welche (x, y) einem gewissen Bereich 9C der
x, y-Ebene angehört, während y' irgend einen endlichen Wert haben kann.
Andererseits sei
y:= y-=(x)j, x x <x X2,
eine ganz im4) Bereich 1 gelegene Kurve der Klasse C'.
Alsdann ist die Funktion
_f(x, y(x), y'(x))
1) Unter einem "Bereich" soll stets eine Punktmenge verstanden werden,
welche "innere Punkte" enthält, einerlei von welcher Beschaffenheit sie sonst
sein mag. Über die Definition eines inneren Punktes vgl. A I 7.
2) Dies hat eine unmittelbare Bedeutung wieder nur, wenn der Bereich (9
nur innere Punkte enthält (oder, wie wir sagen, ein "stetiger Bereich" ist);
enthält er auch Begrenzungsppunkte (d. h. Punkte, in deren jeder Nähe es
Punkte gibt, welche nicht zu (L gehören), so fügen wir noch die Festsetzung
hinzu, daß sich die Definition von f(x, x7,.., x") so über den Bereich C
hinaus auf einen stetigen, den Bereich (9 enthaltenden Bereich 3ß fortsetzen
lassen soll, daß die erweiterte Funktion die angegebenen Eigenschaften im Bereich g besitzt.
3) Bei den geometrischen und mechanischen Anwendungen der Variationsrechnung ist die Funktion f(x, y, y') meistens eine analytische Funktion
einfachster Art. Es wäre daher vollständig genügend, die Untersuchung fir
analytische Funktionen f durchzuführen, wie es WEIERSTRASS und KNESER getan
haben. Dagegen muß man gerade auch vom Standpunkt der Anwendungen bei
den meisten Aufgaben auch nicht-analytische Kurven zulassen, wenn man
die Aufgabe nicht ganz unnatürlich einschränken will. Wenn man es aber doch
einmal mit nicht-analytischen Funktionen zu tun hat, so wird die Darstellung
einheitlicher, wenn man auch die Funktion f nicht als analytisch voraussetzt,
wie dies auch schon PASCAL, loc. cit. p. 21 und OsGOOD, loc. cit. p. 105 getan haben.
4) Eine Kurve liegt ~in einem Bereich" soll stets bedeuten: jeder Punkt
der Kurve ist zugleich ein Punkt des Bereiches, nicht notwendig ein innerer Punkt.