Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 32. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 263
da nach der Definition der Funktionen p(x, y), q(x, y) entlang der
Extremalen eo
p(x, y) = -- q(, y) /,+ -' y
so folgt unter Berücksichtigung von (10) und (13), daß entlang (o
F"(x, y, p, q) dx + F (x, y, p, q) dy
O O 0 0 0
-= (Fx(t, y, x, J') x' + Fy,(, x ~,J ') y) d t - F(x, y, x, y) t.
Daher ist
Jo = Jeo
woraus sich ganz wie in ~ 17, c) ein zweiter Beweis des Weierstraßschen Satzes ergibt.
b) Hinreichende Bedingungen:
Mit Hilfe des Weierstraß'schen Fundamentalsatzes ist es nun
leicht zu beweisen, daß die vier bisher für ein starkes Minimum des
Integrals J als notwendig erkannten Bedingungen - von gewissen
Ausnahmefällen') abgesehen - zugleich auch hinreichend sind.
Der bessern Ubersicht halber stellen wir noch einmal unsere
sämtlichen Voraussetzungen zusammen:
Von der Funktion F(x, y, x', y') wird vorausgesetzt,2) daß sie in
dem Bereich
%: (x, y) in 1, x'2+ y'2 0,
von der Klasse C'" ist und der Homogeneitätsrelation (9) genügt.
1) Diese Ausnahmef lle, die wir zum Teil später noch betrachten werden,
sind:
1. o hat mehrfache Punkte (vgl. hierzu jedoch die Fußnote auf p. 250)
oder Ecken (vgl. ~~ 48-50), oder hat Punkte mit der Begrenzung von
g gemein (vgl. ~~ 52, 53).
2. F1 =- 0 in gewissen Punkten von eo.
3. t = t1' (vgl. ~ 47).
4. 8 — 0 in Punkten von (o für gewisse Richtungen p, q, die nicht mit
p, q zusammenfallen.
Streng genommen könnte man erst dann von "notwendigen und
hinreichenden" Bedingungen sprechen, wenn auch alle diese Ausnahmefälle erledigt wären.
2) Vgl. ~ 25, b).