Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 31. Das Feld und das Feldintegral. 251
(ff: t- h t t2+h7 \a - 0 i <
in der t, a-Ebene und dessen Bild oY in der x, y-Ebene definieren,
und daß gleichzeitig
A(t, a) + 0 (133)
im ganzen Bereich (c.
Wir nennen dann wieder den Bereich Z ein den Bogen q umgebendes
Feld, gebildet von den Extremalen der Schar (130). Nach ~ 22, c)
und d) liegt der Bogen eo ganz im Innern von oS, so daß also der
Bereich W im Sinn von ~ 25, d) eine ~Umgebung" des Bogens @o
bildet.')
Ferner sind im Bereich (c die Ungleichungen (77) erfüllt und das
Feld f liegt ganz im Innern des Bereiches 9{, da wegen (132) das
Rechteck (L ganz im Bereich (76) enthalten ist.
Wo es nötig wird, die die Ausdehnung des Feldes bestimmenden
Größen h, k in die Bezeichnung aufzunehmen, schreiben wir 9, k
und b, k für (C und ef.
Durch die ein-eindeutige Beziehung (130) zwischen den beiden
Bereichen C9 und eo werden t und a für den ganzen Bereich W als
eindeutige Funktionen von x und y definiert. Wir bezeichnen dieselben mit
t t(x, y), a = a(x, y),
so daß also, identisch in Qn,
p(t, a) x, p(t,a)-y, (134)
und umgekehrt
t(qp, k) t, a(9p, P) - a, (134a)
identisch in C.
Es gelten dann in S die Ungleichungen:
t1 - l < t(x, y) < t2 +h, (x, y) - %< k. (135)
Die inversen Funktionen t (x, y), a(x, y) sind nach ~ 22, d) im
Bereich Se (mindestens) von der Klasse C'. Ihre partiellen Ableitungen
ergeben sich aus den Gleichungen
at aa dt da
1 = (t) aq + (ja), 0-= y( +) a+ + (1) 3,
dt da dt da
1) Man kann auch hier, ebenso wie in ~ 16, a), den Satz von SOHÖNFLIE.s
(A VII 2) anwenden, mit demselben Resultat wie dort.